北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.6）初等矩阵

§6初等矩阵 这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系,并在这个基础上,给 出用初等变换求逆矩阵的方法 初等矩阵 定义10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 显然,初等矩阵都是方阵,每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互 换矩阵E的i行与j行的位置,得 P(i,j) 用数域P中非零数c乘E的i行,有 P(i(c))= 把矩阵E的j行的k倍加到i行,有

§6 初等矩阵 这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给 出用初等变换求逆矩阵的方法. 一、初等矩阵 定义 10 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互 换矩阵 E 的 i 行与 j 行的位置，得 行 ， 行 j i P i j                                     = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        用数域 P 中非零数 c 乘 E 的 i 行，有 P i c c i行                       = 1 1 1 1 ( ( ))   , 把矩阵 E 的 j 行的 k 倍加到 i 行，有

1 P(i,j(k)) 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵应该指出,对单位矩阵作一次初等 列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中譬如说,把E的i列的 k倍加到j列,我们仍然得到P(i,j(k)因之,这三类矩阵就是全部的初等矩阵 引理对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的 s×s初等矩阵;对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n的初 等矩阵 不难看出,初等矩阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是初等矩阵事实上 P(,j)-1=P(i,j,P(i(c)-1=P(ic-),P(i,j(k)=P(i,j(-k) 在第二章§5我们看到,用初等行变换可以化简矩阵如果同时用行与列的初 等变换,那么矩阵还可以进一步化简 可逆矩阵及其逆矩阵的求法 定义11矩阵A与B称为等价的,如果B可以由A经过一系列初等变换得到 等价是矩阵间的一种关系不难证明,它具有反身性、对称性与传递性. 定理5任意一个s×n矩阵A都与一形式为 0 的矩阵等价,它称为矩阵A的标准形,1的个数等于A的秩(1的个数可以是零) 例1用初等变换将下列矩阵化为标准形

行 行 列 列 j k i P i j k i j , 1 1 1 1 ( , ( ))                       =      同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等 列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把 E 的 i 列的 k 倍加到 j 列，我们仍然得到 P(i, j(k)) .因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵. 引理 对一个 sn 矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 ss 初等矩阵；对 A 作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 nn 的初 等矩阵. 不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实上 ( , ) ( , ) , ( ( )) ( ( )) , ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 P i j = P i j P i c = P i c P i j k = P i j −k − − − − . 在第二章§5 我们看到，用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初 等变换，那么矩阵还可以进一步化简. 二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法 定义 11 矩阵 A 与 B 称为等价的，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到. 等价是矩阵间的一种关系.不难证明，它具有反身性、对称性与传递性. 定理 5 任意一个 sn 矩阵 A 都与一形式为                     0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0                 的矩阵等价，它称为矩阵 A 的标准形，1 的个数等于 A 的秩(1 的个数可以是零). 例 1 用初等变换将下列矩阵化为标准形

1325 A 根据引理,对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵 因之,矩阵A,B等价的充要条件是有初等矩阵P…,P,Q1…,Q使 A=P1P2…PBQQ2…Q1 n级可逆矩阵的秩为n,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵;反过来显然也 是对的 定理6n级矩阵A为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积: A=QQ 推论1两个s×n矩阵A,B等价的充要条件为,存在可逆的s级矩阵P与可 逆的n级矩阵O使 A= PAO 把(2)改写一下,有 Q…QQ1A=E 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,同时在矩阵A的左边乘初等矩阵就相当于 对A作初等行变换,所以(3)说明了 推论2可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵 以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法设A是一n级可逆矩阵由推论2,有 系列初等矩阵P1…Pn使 P…PA=E 由(4)即得 A=Pn…P=Pn…PE (4),(5)两个式子说明,如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化成单位矩阵 那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵,就得到A 把A,E这两个n×n矩阵凑在一起,作成一个n×2n矩阵

              = 2 4 5 6 2 2 6 7 1 3 2 5 1 1 3 1 A 根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵. 因之，矩阵 A , B 等价的充要条件是有初等矩阵 P Pl Q Qt , , , , , 1  1  使 A = P1P2 PlBQ1Q2 Qt . (1) n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也 是对的. 定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： A = Q1Q2 Qm . （2） 推论 1 两个 sn 矩阵 A , B 等价的充要条件为，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可 逆的 n 级矩阵 Q 使 A = PAQ . 把(2)改写一下，有 Qm Q Q A = E − − −1 1 1 2 1  . (3) 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于 对 A 作初等行变换，所以(3)说明了 推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵. 以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设 A 是一 n 级可逆矩阵.由推论 2，有 一系列初等矩阵 P Pm , , 1  使 Pm P1A = E , (4) 由(4)即得 A Pm P1 Pm P1E −1 =  =  . (5) (4)，(5)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵 A 化成单位矩阵， 那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵，就得到 −1 A . 把 A, E 这两个 nn 矩阵凑在一起，作成一个 n2n 矩阵

按矩阵的分块乘法,(4,(5)可以合并写成 Pn…P(AE)=(Pmn… PA P…BE)=(EA-) (6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法作n×2n矩阵(AE),用初等行变换 把它的左边一半化成E,这时,右边的一半就是A 例2设 2-1 240 求A 当然,同样可以证明,可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵,这就给出了用 初等列变换求逆矩阵的方法

(A E) , 按矩阵的分块乘法，(4)，(5)可以合并写成 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 − Pm P A E = Pm P A Pm P E = E A . (6) (6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作 n2n 矩阵 (A E) ，用初等行变换 把它的左边一半化成 E ，这时，右边的一半就是 −1 A . 例 2 设           − = 2 1 0 1 1 4 0 1 2 A 求 −1 A . 当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵，这就给出了用 初等列变换求逆矩阵的方法