§6线性方程组解的结构 在解决线性方程组有解的判别条件之后,进一步来讨论线性方程组解的结构 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题 齐次线性方程组的解的结构 设 a,,=0, a21x1+a2x2+…+a2xn=0, a1x1+a2x2+ sn"S 是一齐次线性方程组,它的解所成的集合具有下面两个重要性质: 1.两个解的和还是方程组的解. 2.一个解的倍数还是方程组的解 从几何上看,这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方程表示一个过得 点的平面.于是方程组的解,也就是这些平面的交点,如果不只是原点的话,就 是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点,而端点在这样的直线 或平面上的向量显然具有上述的性质 对于齐次线性方程组,综合以上两点即得,解的线性组合还是方程组的解 这个性质说明了,如果方程组有几个解,那么这些解的所有可能的线性组合就给 出了很多的解.基于这个事实,我们要问:齐次线性方程组的全部解是否能够通 过它的有限的几个解的线性组合给出? 定义17齐次线性方程组(1)的一组解n1,n2…m称为(1)的一个基础解系 如果 1)(1)的任一个解都能表成n,2,…,m的线性组合; 2)n1,72,…,7线性无关 应该注意,定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解 定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解 系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到,n-r也就是 自由未知量的个数) 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法
§6 线性方程组解的结构 在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构. 所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 一、齐次线性方程组的解的结构 设 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质： 1. 两个解的和还是方程组的解. 2. 一个解的倍数还是方程组的解. 从几何上看，这两个性质是清楚的.在 n = 3 时，每个齐次方程表示一个过得 点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就 是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线 或平面上的向量显然具有上述的性质. 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给 出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通 过它的有限的几个解的线性组合给出？ 定义 17 齐次线性方程组(1)的一组解 t , , , 1 2 称为(1)的一个基础解系， 如果 1）(1)的任一个解都能表成 t , , , 1 2 的线性组合； 2） t , , , 1 2 线性无关. 应该注意，定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解. 定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解 系所含解的个数等于 n − r ，这里 r 表示系数矩阵的秩(以下将看到， n − r 也就是 自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法
由定义容易看出,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是 基础解系 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组 b b 的常数项换成0,就得到齐次线性方程组(1).齐次线性方程组(1)称为方程组(9) 的导出组.方程组(9)的解与它的导出组()的之间有密切的关系 1.线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解 2.线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方 程组的一个解 定理9如果y是线性方程组(9)的一个特解,那么线性方程组(9)的任一个 解γ都可以表成 y0+7 其中n是导出组(1)的一个解.因此,对于线性方程组(9)的任一个特解y0,当n取 遍它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解. 定理9说明了,为了找出一线性方程组的全部解,只要找出它的一个特殊的 解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组,在上面已经 看到,一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此,根据定理 我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解;如果γ。是线性 方程组(9)的一个特解,m12n2…n是其导出组的一个基础解系,那么(9)的任 一个解y都可以表成 +k71+k272+…+kn1n 推论在线性方程组(9)有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的导出组(1 只有零解
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是 基础解系. 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组 + + + = + + + = + + + = s s sn n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (9) 的常数项换成 0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9) 的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系： 1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解. 2. 线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方 程组的一个解. 定理 9 如果 0 是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个 解 都可以表成 = 0 + 其中 是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解 0 ，当 取 遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解. 定理 9 说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的 解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经 看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理 我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果 0 是线性 方程组(9)的一个特解， n−r , , , 1 2 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任 一个解 都可以表成 n r n r k k k = + + + + − − 0 1 1 2 2 推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1) 只有零解
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看 线性方程组 Ja, x,+a12 2+a, 3=b, b (11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两 个平面有没有交点的问题.我们知道,两个平面只有在平行而不重合的情形没有 交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是 au a1 a21a22 b2 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形: 1.秩A=秩A=1.这就是的两行成比例,因而这两个平面平行.又因为A的 两行也成比例,所以这两个平面重合.方程组有解 2.秩A=1,秩A=2.这就是说,这两个平面平行而不重合.方程组无解. 3.秩A=2.这时A的秩一定也是2在几何上就是这两个平面不平行,因而 定相交.方程组有解 下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A的秩为2,这时一般解 中有一个自由未知量,譬如说是x3,一般解的形式为 d1+c1 d (12) +cx 从几何上看,两个不平行的平面相交在一条直线把(12)改写一下就是直线 的点向式方程 X 如果引入参数t,令x3=1,(12)就成为 d. +c d .+ct 这就是直线的参数方程 (11)的导出方程组是
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看 线性方程组 + + = + + = . , 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两 个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有 交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是 = 21 22 23 11 12 13 a a a a a a A 与 = 21 22 23 2 11 12 13 1 a a a b a a a b A , 它们的秩可能是 1 或者 2.有三个可能的情形： 1. 秩 A =秩 A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为 A 的 两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解. 2. 秩 A =1，秩 A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解. 3. 秩 A =2.这时 A 的秩一定也是 2.在几何上就是这两个平面不平行，因而 一定相交. 方程组有解. 下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵 A 的秩为 2，这时一般解 中有一个自由未知量，譬如说是 3 x ，一般解的形式为 = + = + . , 2 2 2 3 1 1 1 3 x d c x x d c x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线 的点向式方程 3 2 2 2 1 1 1 x c x d c x d = − = − . 如果引入参数 t ，令 x = t 3 ，(12)就成为 = = + = + . , , 3 2 2 2 1 1 1 x t x d c t x d c t (13) 这就是直线的参数方程. (11)的导出方程组是
Ja1 x1+a2-2+a13=0 1x1+a2x2+a23x3=0 从几何上看,这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面,因而它们的交 线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行,也就是有相同的方向,所以 这条直线的参数方程就是 (13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系 例1求线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0, x1+x2-2x3+3x4=0 0 9 的一个基础解系 例2设线性方程组 x1+3x2-x3+2x4-x5=-4 3x1+ 2 xA十 4x1+16x,+x3+3x4-9 用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解
+ + = + + = 0. 0 , 21 1 22 2 23 3 11 1 12 2 13 3 a x a x a x a x a x a x (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交 线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以 这条直线的参数方程就是 = = = . , , 3 2 2 1 1 x t x c t x c t (15) (13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例 1 求线性方程组 3 9 7 0 3 8 0, 2 3 0, 5 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + − + = − + + = + − + = − + − = x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 例 2 设线性方程组 4 16 3 9 21. 2 3 4, 3 2 5 4 1, 3 2 4, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 − + + + − = − − − − + = + + − − = − + − + − = − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解