北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.3）矩阵乘积的行列式与秩

§3矩阵乘积的行列式与秩 定理1设A.B是数域P上的两个nxn矩阵,那么 ABHA‖B|, 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 用数学归纳法,定理1可以推广到多个因子的情形,即有 推论1设A1,A2,…A是数域P上的mXn矩阵,于是 1A1A2…AHA1‖A2|…|A 定义6数域P上的n×n矩阵A称为非退化的,如果|A|≠0,否则称为退化 的 显然一n×n矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n 推论2设A,B是数域P上n×n矩阵,矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至 少有一个是退化的 定理2设A是数域P上n×m矩阵,B是数域P上m×s矩阵,于是 秩(AB)≤mn秩(A秩(B 即乘积的秩不超过各因子的秩 用数学归纳法,定理2可以推广到多个因子的情形,即有 推论3如果A=A1A2…4,那么 秩(4)≤mm(秩4)

§3 矩阵乘积的行列式与秩 定理 1 设 A, B 是数域 P 上的两个 nn 矩阵，那么 | AB |=| A || B | , (1) 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 用数学归纳法，定理 1 可以推广到多个因子的情形，即有 推论 1 设 A A Am , , , 1 2  是数域 P 上的 nn 矩阵，于是 | | | || | | | A1A2 Am = A1 A2  Am 定义 6 数域 P 上的 nn 矩阵 A 称为非退化的，如果 | A | 0 ，否则称为退化 的. 显然一 nn 矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于 n . 推论 2 设 A, B 是数域 P 上 nn 矩阵，矩阵 AB 为退化的充要条件是 A, B 中至 少有一个是退化的. 定理 2 设 A 是数域 P 上 nm 矩阵， B 是数域 P 上 ms 矩阵，于是 秩(AB)  min[ 秩(A),秩(B)] , (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 用数学归纳法，定理 2 可以推广到多个因子的情形，即有 推论 3 如果 A = A1A2 At ，那么 ( ) min ( ) 1 j j t 秩 A 秩A   