§7二元高次方程组 、结式的概念 引理设 f(x)=a0x+a1x+…+an 8(x)=bx"+b1x"+…+bn 是数域P上两个非零的多项式,它们的系数a0,b不全为零于是f(x)与g(x)在 Px]中有非常数的公因式◇→在Px中存在非零的次数小于m的多项式u(x)与 次数小于n的多项式v(x),使 u(xf(x)=v(x)g(x) 下面把引理中的条件改变一下.令 u(x)=uox m-2+…+lm-17 v(x)=vor"+vix 由多项式相等的定义,等式 u(x)f(x)=v(x)g(x) 就是左右两端对应系数相等,即 dolo =b0v, a,lo+aou b,vo +bov, auo+au,+aou2=bvo+bv,+boy2 a,um-2 ta-ll b y n-2 b a u m-I 如果把(6)看成一个关于未知量的方程组,那么它是一个含个未知量,个方程的 齐次线性方程组显然,引理中的条件:“在P[x中存在非零的次数小于m的多 项式u(x)与次数小于n的多项式v(x),使(5)成立”就相当于说,齐次线性方程 组(6)有非零解 我们知道,齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列 式等于零 把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换,再把后边的行反号,取
§7 二元高次方程组 一、结式的概念 引理 设 ( ) (2) ( ) , (1) 1 0 1 1 0 1 m m m n n n g x b x b x b f x a x a x a = + + + = + + + − − 是数域 P 上两个非零的多项式，它们的系数 0 0 a ,b 不全为零.于是 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中有非常数的公因式 在 P[x] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u(x) 与 次数小于 n 的多项式 v(x) ，使 u(x) f (x) = v(x)g(x) 下面把引理中的条件改变一下.令 ( ) . ( ) , 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 − − − − − − = + + + = + + + n n n m m m v x v x v x v u x u x u x u 由多项式相等的定义，等式 u(x) f (x) = v(x)g(x) (5) 就是左右两端对应系数相等，即 = + = + + + = + + + = + = − − − − − − − − . , , , , 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 n m m n n m n m m n m n a u b v a u a u b v b v a u a u a u b v b v b v a u a u b v b v a u b v (6) 如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的 齐次线性方程组.显然，引理中的条件：“在 P[x] 中存在非零的次数小于 m 的多 项式 u(x) 与次数小于 n 的多项式 v(x) ，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程 组(6)有非零解. 我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列 式等于零. 把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取
行列式就得 a 7行 bo b, bb1…b 对任意多项式 f(x)=aox"+a,x g(x)=b0xm+bxm-+…+bn (它们可以为零多项式),我们称上面的行列式为它们的结式,记为R(f,g).综合 以上分析,就可以证明 定理10设 f(x)=a0x"+a1x-+ g(x)=b0x"+bxm+…+bn 是P[x中两个非零的多项式,m,n>0于是它们的结式R(f,g)=0的充要条件是 f(x)与g(x)在Px]中有非常数的公因式或者它们的第一个系数a0,b全为零 当P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对 复数域上多项式f(x),g(x),R(/,g)=0的充要条件为f(x),g(x)在复数域中 有公共根或者它们的第一个系数全为零 例1九取何值时,多项式 f(x)=Ax2+34x+24+3 g(x)=2(2-1)x+2+3 有公根 二、二元高次方程组的解法 结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法 设f(x,y),g(x,y)是两个复系数的二元多项式,我们来求方程组 ∫f(xy)=0 (7)
行列式就得 m m m n n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a n m 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 行 行 . 对任意多项式 m m m n n n g x b x b x b f x a x a x a = + + + = + + + − − 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) , (它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为 R( f , g) .综合 以上分析，就可以证明 定理 10 设 m m m n n n g x b x b x b f x a x a x a = + + + = + + + − − 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) , 是 P[x] 中两个非零的多项式， m ,n 0 于是它们的结式 R( f , g) = 0 的充要条件是 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中有非常数的公因式或者它们的第一个系数 0 0 a ,b 全为零. 当 P 是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对 复数域上多项式 f (x) ，g(x) ， R( f , g) = 0 的充要条件为 f (x) ，g(x) 在复数域中 有公共根或者它们的第一个系数全为零. 例 1 取何值时，多项式 ( ) 2( 1) 2 3 ( ) 3 2 3, 2 = − + + = + + + g x x f x x x 有公根. 二、二元高次方程组的解法 结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法. 设 f (x, y), g(x, y) 是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组 = = ( , ) 0 ( , ) 0 , g x y f x y (7)
在复数域中的全部解.f(x,y),g(x,y)可以写成 f(x,y)=a0(y)x"+a1(y)x"-1+…+an(y) g(x, y)=bo()x"+b()x+.+bm() 其中a(y),b,(y),=0,1,…,n,j=0,1,…m是y的多项式.把f(x,y),g(x,y)看 作是x的多项式,令 a0(y)a1(y) n(y) a0(y)a(y)…an,Oy) R (,g) bo(y) b,(y) bm. bo() b,() b (y) b(y)b1(y)…bn(y) 这是一个y的复系数多项式 定理11如果(x,y)是方程组(7)的一个复数解,那么y就是R,(,g)的 个根;反过来,如果y0是R、(,g)的一个复根,那么,a()=b(y)=0或者 存在一个复数x0使(x0,y)是方程组(7)的一个解 由此可知,为了解方程组(7),我们先求高次方程R(f,g)=0的全部根,把 R(g)=0的每个根代入(7),再求x的值.这样,我们就得到(7)的全部解 例2求方程组 f(x,y)=y2-7xy+4x2+13x-2y-3=0 lg(x,y)=y2-14xy+9x2+28x-4y-5=0 的解
在复数域中的全部解. f (x, y), g(x, y) 可以写成 ( , ) ( ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ) ( ), 1 0 1 1 0 1 g x y b y x b y x b y f x y a y x a y x a y m m m n n n = + + + = + + + − − 其中 ai ( y),bj ( y),i = 0 ,1, ,n , j = 0 ,1, , m 是 y 的多项式.把 f (x, y), g(x, y) 看 作是 x 的多项式，令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b y b y b y b y b y b y b y b y b y a y a y a y a y a y a y a y a y a y R f g m m m n n n x = 这是一个 y 的复系数多项式. 定理 11 如果 ( , ) 0 0 x y 是方程组(7)的一个复数解，那么 0 y 就是 R ( f , g) x 的一 个根；反过来，如果 0 y 是 R ( f , g) x 的一个复根，那么， a0 (y0 ) = b0 (y0 ) = 0 或者 存在一个复数 0 x 使 ( , ) 0 0 x y 是方程组(7)的一个解. 由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次方程 Rx ( f , g) = 0 的全部根，把 Rx ( f , g) = 0 的每个根代入(7)，再求 x 的值.这样，我们就得到(7)的全部解. 例 2 求方程组 = − + + − − = = − + + − − = ( , ) 14 9 28 4 5 0 ( , ) 7 4 13 2 3 0 2 2 2 2 g x y y x y x x y f x y y x y x x y 的解