§5因式分解定理 、不可约多项式 Q (x-√2)x+√2)x2+2) on r (x-√2x+√2x-√2x+√2 定义8数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式 ( irreducible polynomical),如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低 的多项式的乘积 根据定义,一次多项式总是不可约多项式 一个多项式是否可约是依赖于系数域的 显然,不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c≠0)这两种,此外就没有了反过来,具有这个性质的次数≥1的多项式 定是不可约的由此可知,不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两 种关系,或者p(x)|f(x)或者(p(x),f(x)=1 定理5如果p(x)是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式f(x),g(x), 由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x 推广:如果不可约多项式p(x)整除一些多项式f(x).f(x)…∫(x)的乘积 f1(x)2(x)…∫(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个 因式分解定理 因式分解及唯一性定理数域P上次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解 成数域P上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说,如果有两个分解式 f(x)=P1(x)P2(x)…P2(x)=q1(x)q2(x)…q1(x), 那么必有s=t,并且适当排列因式的次序后有 P1(x)=c;q(x),i=1,2,…,s 其中c(i=1,2,…,s)是一些非零常数
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 x x x i x i on C x x x on R x x x on Q ( 2)( 2)( 2 )( 2 ) ( 2)( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 2 4 2 2 = − + − + = − + + − = − + . 定义 8 数域 P 上次数 1 的多项式 p(x) 称为域 P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域 P 上的两个次数比 p(x) 的次数低 的多项式的乘积. 根据定义，一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然，不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c 0) 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数 1 的多项式一 定是不可约的.由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两 种关系，或者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x), f (x)) = 1. 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f (x), g(x)， 由 p(x) | f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) . 推广：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的乘积 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x s ，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 P 上次数 1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解 成数域 P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x = s = t , 那么必有 s = t ，并且适当排列因式的次序后有 p x c q x i s i i i ( ) = ( ) , =1, 2, , . 其中 c (i 1,2 , ,s) i = 是一些非零常数
应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出 个具体的分解多项式的方法实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项 式的方法是不存在的 在多项式f(x)的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来, 使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并于是f(x)的分 解式成为 f(x)=cp(x)p2(x)-.P,(r) 其中c是f(x)的首项系数,p1(x),P2(x)…,p,(x)是不同的首项系数为1的不可 约多项式,而1,F2…是正整数这种分解式称为标准分解式 如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公 因式多项式f(x)与g(x)的最大公因式d(x)就是那些同时在f(x)与g(x)的标准 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在f(x)与 g(x)中所带的方幂中较小的一个 由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础 若f(x)与g(x)的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则f(x)与g(x)互素 注意:上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下 没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域P上一个多 项式是否可约一般都是很困难的 例在有理数域上分解多项式∫(x)=x3+x2-2x-2为不可约多项式的乘积
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出 一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项 式的方法是不存在的. 在多项式 f (x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来， 使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是 f (x) 的分 解式成为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s = r r , 其中 c 是 f (x) 的首项系数， ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 是不同的首项系数为 1 的不可 约多项式，而 s r ,r , ,r 1 2 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公 因式.多项式 f (x) 与 g(x) 的最大公因式 d (x) 就是那些同时在 f (x) 与 g(x) 的标准 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在 f (x) 与 g(x) 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 f (x) 与 g(x) 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则 f (x) 与 g(x) 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下， 没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域 P 上一个多 项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 ( ) 2 2 3 2 f x = x + x − x − 为不可约多项式的乘积