第七节无穷小与无穷大 习题1-7 1.利用等价无穷小替换定理求下列极限 (1) lim (2) lim sin(r") (m,n∈N); x→0(sinx)" (3)lim x(1-cos x) (4) lim arcsin 3x sin x x→0sin2x (5) lim arctan (6) lin 解(1)lin tan sx =lim x→02x2 (2) lim sin(r” 00=n<m (3)lim x(I-cos x) rx2 二 lir sIn x (4) lim arcsin 3x x→0sin2xx→+02x2 lim x -= lim = lim x x→0cosx-1 2.当x→0时,试确定下列无穷小关于x的阶数: (1) x+sinx (2)x32+10x2 (3)1-cos2 (4)tan 2x2
1 第七节 无穷小与无穷大 习 题 1-7 1. 利用等价无穷小替换定理求下列极限: (1) 0 tan 5 lim x 2 x → x ; (2) 0 sin( ) lim ( , ) (sin ) n m x x m n → x ∈ * N ; (3) 3 0 (1 cos ) lim x sin x x → x − ; (4) 0 arcsin 3 lim x sin 2 x → x ; (5) 1 lim arctan x x →∞ x ; (6) 1 2 3 0 (1 ) 1 lim x cos 1 x → x + − − . 解 (1) 0 0 tan 5 5 5 lim lim x x 2 22 x x → → x x = = . (2) 0 0 0 , sin( ) lim lim 1 , (sin ) . n n m m x x n m x x n m x x n m → → ⎧ > ⎪ == = ⎨ ⎪∞ < ⎩ 当 当 当 (3) 2 3 3 0 0 1 (1 cos ) 1 2 lim lim x x sin 2 x x x x → → x x ⋅ − = = . (4) 0 0 arcsin 3 3 3 lim lim x x sin 2 2 2 x x → → x x = = . (5) 1 1 arctan 1 lim arctan lim lim 1 x xx 1 1 x x x x x x →∞ →∞ →∞ = == . (6) 1 2 2 3 0 0 2 1 (1 ) 1 2 3 lim lim cos 1 3 1 2 x x x x x x → → + − = =− − − . 2. 当 x → 0 时, 试确定下列无穷小关于 x 的阶数： (1) x + sin x ; (2) 3 2 x +10x ; (3) 2 1 cos 2 − x ; (4) 2 tan 2x
解(1)因为 lim=1,所以阶数为1 (2)因为lim x3+10x2 =10,所以阶数为2 (2x2) (3)因为im =2,所以阶数为4 tan 2 4)因为lim =lm-2=2,所以阶数为2 3.当x→0时,x与tn2(2x)是同阶无穷小,则k等于多少? 解因为lim x6 =lm2=2,即tan2(2x3)与x是同阶无穷小,故 x→0 4.当m,n∈N,证明:当x→0时, (1)o(x")+o(x")=o(x),l=min{m,n}; (3)若a是x→0时的无穷小,则axm=o(xm (4)o(kx")=o(x")k≠0) 证(0)=+2=2+=22=0,故 (2) lim o(r )o(r") =0,故o(xm)·o(x”)=0(xm+n) (3)lim ar =lima=0,故axm=0(x") (4)Im0k2=1m2“),k=0,故Ok")=o(x)k≠0) 5.函数y= sinx在(-∞,+∞)内是否有界?这个函数是否为x→+∞时的无穷 解y= sinx在(-∞,+∞)内无界.因为M>0(无论它多么大),总能找到
2 解 (1) 因为 0 sin lim 1 x x x → x + = , 所以阶数为 1. (2) 因为 3 2 2 0 10 lim 10 x x x → x + = , 所以阶数为 2. (3) 因为 2 2 2 4 4 0 0 1 (2 ) 1 cos 2 2 lim lim 2 x x x x → → x x − = = , 所以阶数为 4. (4) 因为 2 2 2 2 0 0 tan 2 2 lim lim 2 x x x x → → x x = = , 所以阶数为 2. 3. 当 x → 0 时, k x 与 2 3 tan (2 ) x 是同阶无穷小, 则 k 等于多少? 解 因为 23 6 6 6 0 0 tan (2 ) 2 lim lim 2 x x x x → → x x = = , 即 2 3 tan (2 ) x 与 6 x 是同阶无穷小, 故 k = 6 . 4. 当 m n, ∈ * N , 证明: 当 x → 0 时, (1) ( ) ( ) ( ), min{ , } mnl ox ox ox l mn += = ; (2) ( ) ( ) ( ) m n mn ox ox ox + ⋅ = ; (3) 若α 是 x → 0 时的无穷小, 则 ( ) m m α x = o x ; (4) ( ) ( )( 0) n n o kx o x k = ≠ . 证 (1) 0 00 ( ) () ( ) () lim lim lim 0 mn m n l ll x xx ox ox ox ox → →→ x xx + = + = , 故 ( ) ( ) () mnl ox ox ox + = . (2) 0 00 ( )( ) ( ) ( ) lim lim lim 0 mn m n mn m n x xx ox ox ox ox x xx → →→ + = ⋅= , 故 ( )() ( ) m n mn ox ox ox + ⋅ = . (3) 0 0 lim lim 0 m m x x x x α α → → = = , 故 ( ) m m α x = o x . (4) 0 0 () () lim lim 0 n n n n x x o kx o kx k → → x kx = ⋅= , 故 ( ) ( )( 0) n n o kx o x k = ≠ . 5. 函数 yx x = sin 在(, ) −∞ + ∞ 内是否有界? 这个函数是否为 x → +∞ 时的无穷 大? 解 sin yx x = 在 (, ) −∞ + ∞ 内无界. 因为 ∀ M > 0 (无论它多么大), 总能找到
M- x=2Ax+(k∈N),使得当k>一,时,=2+>M 但当x→+∞时,y= sinx不是无穷大,例如,取x=2k(k∈N),当k→+∞时 x→+∞,但y=0
3 π 2 π ( ) 2 xk k =+∈N , 使得当 π 2 2π M k − > 时, π 2 π 2 yk M = + > . 但当 x → +∞ 时, sin yx x = 不是无穷大, 例如, 取 x = 2kk N π( ) ∈ , 当 k → +∞ 时, x → +∞ , 但 y = 0