§3整除的概念 在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算一除法 并不是普遍可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系 整除的概念 带余除法对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有 Px]中的多项式q(x)r(x)存在,使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立,其中(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f(x)的 余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式 h(x)使等式 f(x)=g(xh(x) 成立用“g(x)∫(x)”表示g(x)整除∫(x),用“g(x)|f(x)”表示g(x)不能整除 当g(x)|f(x)时,g(x)就称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时,带余除法给出了整除性的一个判别条件 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0 g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零 带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)|f(x)中,g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)·h(x)=0·h(x)=0 当g(x)|f(x)时,如g(x)≠0,g(x)除f(x)的商q(x)有时也用 g(x)
§3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法 —并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ，一定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的 余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x) 0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零 . 但 g(x) | f (x) 中 ， g(x) 可以为零 . 这 时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x
来表示 二、整除的性质 1.任一多项式f(x)一定整除它自身 2.任一多项式∫(x)都能整除零多项式0 3.零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式 4.若f(x)|g(x)g(x)|f(x),则f(x)=cg(x),其中c为非零常数 5.若f(x)|g(x),g(x)h(x),则f(x)|h(x)(整除的传递性) 6.若f(x)|g(x),i=1,2,…,r,则 f(x)|(1(x)g(x)+2(x)g2(x)+…+l1(x)g1(x) 其中u1(x)是数域P上任意的多项式 通常,a1(x)g(x)+u2(x)g2(x)+…+l,(x)g,(x)称为g1(x),g2(x)…g,(x)的 个组合 由以上性质可以看出,f(x)与它的任一个非零常数倍cf(x)(c≠O)有相同的 因式,也有相同的倍式因之,在多项式整除性的讨论中,f(x)常常可以用cf(x) 来代替 最后,两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变即若f(x), g(x)是Px]中两个多项式,P是包含P的一个较大的数域当然,f(x),g(x)也 可以看成是P[x]中的多项式从带余除法可以看出,不论把f(x),g(x)看成是 Px]中或者是P[x]中的多项式,用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的 因此,若在P[x]中g(x)不能整除f(x),则在P[x]中,g(x)也不能整除f(x) 例1证明若g(x)f(x)+f2(x)g(x)f1(x)-f2(x),则 g(x)|f(x),g(x)|f2(x) 例2求k,l,使x2+x+lx3+kx+1 例3若g(x)|f(x)g(x)h(x),则g(x)|f(x)+h(x)
来表示. 二、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x),其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2, , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 g x g x g x r 的 一个组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相同的 因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可以用 cf (x) 来代替. 最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 f (x) ， g(x) 是 P[x] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) ，g(x) 也 可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) ， g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式及余式都是一样的. 因此，若在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x)