第九节闭区间上连续函数的性质 习题1-9 证明方程x4-4x-1=0至少有一个根介于1和2之间 证令f(x)=x4-4x-1,易知函数在[2]上连续,又 f(1)=1-4×1-1=-40, 即f(1)与f(2)异号,于是,由零点定理,至少存在一点ξ∈(1,2),使得f(5)=0 即方程x4-4x-1=0至少有一个根介于1和2之间 2.证明方程x+e2=0在区间(-1,1)内有唯一的根 证令f(x)=x+e,易知函数在[-1,1上连续,又 f(-1)=-1+e-0,即f(-1)与f(1)异号,于是,由零点定理,至 少存在一点ξ∈(-1,1),使得∫()=0,又∫(x)=x+e在(-1,1)上单调递增,故满足 f(5)=0的ξ是唯一的,即方程x+e2=0在区间(-11)内存在唯一的根 3.证明:若f(x)在(-∞,+∞)内连续,且imf(x)存在,则f(x)必在(-∞,+∞) 内有界 证令lmf(x)=A,则对给定的E>0,3X>0,只要>X,就有 (x)-0,使得f(x)≤M,x∈[-X,灯],取M=maxM,A-l,A+sB, 则(x)≤M,x∈(-∞+∞),即f(x)在(-,+∞)内有界 4.设f(x)在开区间(a,b)内连续,且limf(x)=-,lmf(x)=+∞,证明 ∈(a,b),使f(2)=0
1 第九节 闭区间上连续函数的性质 习 题 1-9 1. 证明方程 4 x x − 4 10 − = 至少有一个根介于1和 2 之间. 证 令 4 f () 4 1 xx x = − − , 易知函数在[1, 2]上连续, 又 4 f (1) 1 4 1 1 4 0 = − × − =− , 即 f (1) 与 f (2) 异号, 于是, 由零点定理, 至少存在一点ξ ∈(1, 2) , 使得 f () 0 ξ = , 即方程 4 x x − −= 4 10 至少有一个根介于1和 2 之间. 2. 证明方程 e 0 x x + = 在区间( 1,1) − 内有唯一的根. 证 令 () ex fx x = + , 易知函数在[ 1,1] − 上连续, 又 1 f ( 1) 1 e 0 − − =− + , 即 f ( 1) − 与 f (1) 异号, 于是, 由零点定理, 至 少存在一点ξ ∈ −( 1,1) , 使得 f () 0 ξ = , 又 () ex fx x = + 在 ( 1,1) − 上单调递增, 故满足 f () 0 ξ = 的ξ 是唯一的, 即方程 e 0 x x + = 在区间( 1,1) − 内存在唯一的根. 3. 证明: 若 f ( ) x 在(, ) −∞ + ∞ 内连续, 且 lim ( ) x f x →∞ 存在, 则 f ( ) x 必在 (, ) −∞ + ∞ 内有界. 证 令 lim ( ) x f x A →∞ = , 则对给定的ε > 0 , 0 ∃ X > , 只要 x > X , 就有 fx A ( ) − 0 , 使得 1 f ( ) x M≤ , [ , ] x∈ −X X , 取 M MA A max{ , , } 1 = −+ ε ε , 则 f ( ) x M≤ , ( , ) x∈ −∞ + ∞ , 即 f ( ) x 在(, ) −∞ +∞ 内有界. 4. 设 f ( ) x 在开区间 (, ) a b 内连续, 且 lim ( ) x a f x → + = −∞ , lim ( ) x b f x → − = +∞ , 证明 ∃ ∈ξ (, ) a b , 使 f ( ) 0. ξ =
证由imf(x)=-∞,知对给定的M>0,彐41>0,当00,彐2>0,当0M,故 f(b-=)>M>0 考虑区间[a+A,b-21,易知函数(x在此区间内连续,且(a+2)0,由零点定理,3∈(a+A,b-2)c(a.b),使得(2)=0 5.设f(x),g(x)都是闭区间[a,b]上的连续函数,并且 f(a)>g(a),f(b)0,F(b)=f(b)-g(b)0,f(b)b时类似可证),[a,b]c1,故∫(x)在[a,b]上连续,由零点定理,至少存在 点ξ∈[a,b]<I,使得∫()=0,这与f(x)在区间/上没有零点矛盾,故f(x)在区间 上要么处处为正,要么处处为负
2 证 由 lim ( ) x a f x → + = −∞ , 知对给定的 M > 0 , 1 ∃δ > 0 , 当 1 0 0 , 2 ∃δ > 0 , 当 2 0 , 故 2 () 0 2 fb M δ − >> . 考虑区间 1 2 [, ] 2 2 a b δ δ + − , 易知函数 f ( ) x 在此区间内连续, 且 1 ( )0 2 f a δ + , 由零点定理, 1 2 ( , ) (, ) 2 2 a b ab δ δ ∃∈ + − ⊂ ξ , 使得 f ( ) 0. ξ = 5. 设 f ( ) x , ( ) g x 都是闭区间[, ] a b 上的连续函数, 并且 f ( ) ( ), ( ) ( ) a ga f b gb > , ( ) ( ) ( ) 0 Fb f b gb = − , ( ) 0 f b 时类似可证), [ , ] ab I ⊂ , 故 f ( ) x 在[, ] a b 上连续, 由零点定理, 至少存在一 点ξ ∈ ⊂ [, ] ab I , 使得 f () 0 ξ = , 这与 f ( ) x 在区间 I 上没有零点矛盾, 故 f ( ) x 在区间 I 上要么处处为正, 要么处处为负