第四节高阶导数 习题2 1.求下列函数的二阶导数 (1 3x2+e2r +In 解(1)y2=6x+2+x1=0+=(1+x2) arctan x (2) y=cosx-xsin x, y=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx (3)y y=esint-e-cost-e- sint=-2e-cost (4)y x+1,y"=2 2.设f(x)=(x+10)°,求∫(2) 解由于f(x)=6(x+10),f(x)=30(x+10)4,f"(x)=120(x+10)3,所以 f"(2)=123120=207360 3.设∫(x)存在,求下列函数y的二阶导数 d-y (1)y=f(e-); (2) y=In f(x) 解(1)y=-f′(e-x)ex,y"=e2xy(e-x)+ef(ex) (2)y=(,y=a)/(x)-°(x) f(x) 4.试从一=导出
1 第四节 高阶导数 习 题 2-4 1. 求下列函数的二阶导数: (1) 2 2 3 e ln x yx x = ++ ; (2) cos yx x = ; (3) e sin t y t − = ; (4) 2 yx x = + (1 )arctan . 解 (1) 2 2 2 1 1 6 2e , 6 4e x x yx y x x ′ ′′ = + + =+ − . (2) cos sin , sin sin cos 2sin cos y x x xy x x x x x x x ′ ′′ = − =− − − =− − . (3) e sin e cos t t y tt − − ′ =− + , e sin e cos e cos e sin 2e cos tt t t t y t ttt t −− − − − ′′ = − − − =− . (4) 2 2 2 arctan 1, 2arctan 1 x yx x y x x ′ ′′ = += + + . 2. 设 6 fx x ( ) ( 10) = + , 求 f ′′′(2) . 解 由于 5 4 fx x f x x ′ ′′ ( ) 6( 10) , ( ) 30( 10) =+ = + , 3 fx x ′′′( ) 120( 10) = + , 所以 3 f ′′′(2) 12 120 207360 =⋅= . 3. 设 f ′′( ) x 存在, 求下列函数 y 的二阶导数 2 2 d d y x : (1) (e ) x y f − = ; (2) ln ( ) y fx = . 解 (1) 2 (e )e , e (e ) e (e ) x x x xxx yf y f f −− − − − − ′ ′ ′′ ′′ ′ =− = + . (2) 2 2 () () () () , ( ) ( ) f x f xfx f x y y f x f x ′ ′′ ′ − ′ ′′ = = . 4. 试从 d 1 d x y y = ′ 导出:
(2)2x=3x)-y dxdl、d,l、d (y)2y(y)3 (2)dxd,d2x、d,ydx_300)(y)2-yy)2130)2-y d$)=0)=0y=0 5.验证函数y= e sinx满足关系式 y”-2y+2y=0 解因为 y=e sin x+e cos x=e(sin x+ cos x) y=e(sinx+cos x)+e(cos x-sinx)=2e cosx 故而 y-2y+2y=2e cos x-2e(sin x+cos x)+2e x=0 6.求下列函数的n阶导数的表达式 (1)y (2) y=xIn cos(2x+n)=-2cos(2x+n)=2 sin[2x+(n-D)- (2)y=lmx+1y=1 (-1)”(n-2)=(-1(n-2)-(n≥2) (3)y=e+xex=(x+1)e2,y"=e2+(x+1)e2=(x+2)e2,y)=(x+n)e2
2 (1) 2 2 3 d d () x y y y ′′ = − ′ ; (2) 3 2 3 5 d 3( ) d () x y yy y y ′′ ′ ′′′ − = ′ . 证 (1) 2 2 23 d d 1 d 1d 1 () () d () () d dd x xy y y yy yy xy y y ′′ ′′ = = =− =− ′′ ′ ′ ′ . (2) 3 2 22 3 2 32 3 6 5 d d d d d 3( ) ( ) ( ) 1 3( ) () ( ) d d () () () dd d x x y x y y y y y yy yy y y y yx y y ′′ ′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′ ′′′ − − = =− = = ′′ ′ ′ . 5. 验证函数 e sin x y x = 满足关系式 y yy ′′ ′ − 2 20 + = . 解 因为 e sin e cos e (sin cos ) xx x y x x xx ′ =+ = + , e (sin cos ) e (cos sin ) 2e cos xx x y x x xx x ′′ = + + −= , 故而 2 2 2e cos 2e (sin cos ) 2e sin 0 xx x y yy x x x x ′′ ′ − += − + + = . 6. 求下列函数的 n 阶导数的表达式: (1) 2 y x = sin ; (2) ln yxx = ; (3) ex y x = ; (4) 2 2 1 y x a = − ; (5) 1 ln 1 x x + − . 解 (1) 2 1 sin (1 cos 2 ) 2 yx x = =− . () 1 1 2 ππ π cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 sin[2 ( 1) ] 22 2 2 n n nn y xn xn x n − − =− + =− + = + − . (2) 1 y xy ln 1, x ′ ′′ =+ = , ( ) ( 2) 2 1 1 1 11 ( ) ( 1) ( 2)! ( 1) ( 2)! ( 2) nn n n n n y n nn x x x − − − − = =− − =− − ≥ . (3) ( ) e e ( 1)e , e ( 1)e ( 2)e , ( )e x x x x x xn x y x x y x x y xn ′ ′′ =+ =+ =++ =+ =+ . (4) 11 1 ( ) 2 y ax a x a = − − +
2= (-1)"n!1 (5)y=+x)-h-x)=-1--1 (n1).(-1)2(n-1)!(-1)-(n-1) x+1x-1 7.求下列函数的指定阶的导数 (1)y= e cos x,求y (2)y=x2sm2x,求y0) Af (1)y=e cosx-e sin x=e (cosx-sin x), y=e(cosx-sin x)-e (sin x+cos x)=-2e sinx y(4)=-2e(cosx+sin x)-2e (sin x+cosx)=-4e'cosx (2)y0=(x2sm2xy0=x2(sin2x)0)+502x(si2xy4)+50.492sm2x)4 2 =x220sin(2x+25x)+100x2sin(2x+4m)+2450.248sin(2x+24x) 2>(xsin 2x+50xcos 2x+ sina 8.求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数y (1) y=tan(x+ y) (2) xy=ey 解(1)对方程两边对x求导,得 (+y)y 对y'=-csc2(x+y)两边对x求导,得
3 () () () 1 1 1 1 1 1 ( 1) ! ( 1) ! [( ) ( ) ] [ ] 2 2 () () n n n nn n n n n y axa xa a xa xa + + − − = −= − − + − + 1 1 ( 1) ! 1 1 [ ] 2 () () n n n n a xa xa + + − = − − + . (5) 1 1 [ln(1 ) ln(1 )] 1 1 y xx x x ′ ′ = +− − = − + − , 1 1 ( ) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1)! ( 1) ( 1)! ( ) 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n y x x x x − − − − −− − =− = − + − + − 1 1 1 ( 1) ( 1)![ ] ( 1) ( 1) n n n n x x − =− − − + − . 7. 求下列函数的指定阶的导数: (1) e cos x y x = , 求 (4) y ; (2) 2 y x in x = s 2 , 求 (50) y . 解 (1) e cos e sin e (cos sin ) xxx y x x xx ′ = −= − , e (cos sin ) e (sin cos ) 2e sin xx x y xx x x x ′′ = − − + =− , 2e cos 2e sin 2e (cos sin ) xx x y x x xx ′′′ =− − =− + , (4) 2e (cos sin ) 2e ( sin cos ) 4e cos xx x y xx xx x =− + − − + =− . (2) (50) 2 (50) 2 (50) (49) (48) 50 49 ( s 2 ) (sin 2 ) 50 2 (sin 2 ) 2(sin 2 ) 2 y x in x x x x x x ⋅ = = +⋅ + ⋅ 2 50 49 48 49 2 sin(2 25π) 100 2 sin(2 π) 2450 2 sin(2 24π) 2 = ++ + +⋅ + x x xx x 50 2 1225 2 ( sin 2 50 s 2 sin 2 ) 2 =− + + x x xco x x . 8. 求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 2 d d y x : (1) tan( ) y xy = + ; (2) ex y xy + = . 解 (1) 对方程两边对 x 求导, 得 2 y xy y ′ ′ = ++ sec ( )(1 ) , 2 y xy ′ = − + csc ( ) , 对 2 y xy ′ =− + csc ( ) 两边对 x 求导, 得
y"=2csc2(x+ycot(x+y)(+y=-2csc2(x+y)cot(x+y) (2)对方程两边对x求导,得 (1+y) 对y+xy'=e*(1+y)两边对x继续求导 2y+xy"=e(1+y)2+e+”y y=”(+)-2y2=20(+)2-2=(x-1)+(y=)1 x-xv 9.求下列参数方程所确定的函数y的二阶导数 x= a cost f() y=bint y=0-.其中f(0存在且不为零 解(1) dy b cot I dx -asin dy yf(o dy dr 1 (2)dxf"( dx f(o
4 2 23 y xy xy y xy xy ′′ ′ = 2csc ( )cot( )(1 ) 2csc ( )cot ( ) + + + =− + + . (2) 对方程两边对 x 求导, 得 e e (1 ), e x y x y x y y xy y y xy y y x x xy + + + − − += + = = ′ ′′ − − , 对 e (1 ) x y y xy y + += + ′ ′ 两边对 x 继续求导, 2 2 e (1 ) e xy xy y xy y y + + ′ ′′ ′ ′′ += + + , 2 2 22 2 3 e (1 ) 2 (1 ) 2 [( 1) ( 1) ] e (1 ) x y x y y y xy y y y x y y x xy x xy + + + − + − − +− ′′ ′′ ′′ = == − − − . 9. 求下列参数方程所确定的函数 y 的二阶导数 2 2 d d y x : (1) cos , sin ; x a t yb t ⎧ = ⎨ ⎩ = (2) ( ), ( ) ( ). x ft y tf t f t ⎧ = ′ ⎨ = − ′ ⎩ 其中 f ′′( )t 存在且不为零. 解 (1) d cos cot d sin ybt b t x at a = =− − , 2 2 2 2 3 dd d d 1 ( cot ) ( cot ) csc d sin d d d sin y b b tb b t tt x x a t a xa a t a t = − = − = =− − . (2) 2 2 d () d d 1 , d () d () d y tf t y t t x ft x ft x ′′ = = == ′′ ′′
