§3n级行列式 n级行列式的概念 在给出n级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义我们有 (1) a a2a2a2=a1a2a3+a12a23a31+a3a2a2-a1a23a32-a1a2a3-a1ya2a1(2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成另一方面,每一项乘积都带有符号这符号是按什 么原则决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成 J2 其中2/3是1,2,3的一个排列可以看出,当2是偶排列时对应的项在(2) 中带有正号,当元2/3是奇排列时带有负号 定义4n级行列式 (4 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 (5) 的代数和,这里j/2…jn是1,2,…,n的一个排列,每一项(5)都按下面规则带有符 号;当j2…j是偶排列时,(5)带有正号,当j2…jn是奇排列时,(5)带有负 号这一定义可写成 a
§3 n 级行列式 一、 n 级行列式的概念 在给出 n 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − , (1) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − (2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项 乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就 是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什 么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j , (3) 其中 1 2 3 j j j 是 1，2，3 的一个排列.可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时.对应的项在(2) 中带有正号，当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (4) 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 (5) 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符 号；当 n j j j 1 2 是偶排列时，(5)带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，(5)带有负 号.这一定义可写成 = − n n n j j j j j nj j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) , (6)
这里∑表示对所有n级排列求和 /2 定义表明,为了计算n级行列式,首先作所有可能由位于不同行不同列元素 构成的乘积把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序,然后由列指标所成 的排列的奇偶性来决定这一项的符号 由定义看出,n级行列式是由n!项组成的 例1计算行列式 002 4000 例2计算上三角形行列式 2 0 a11a22…“am 00 这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积特 别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式对角形行列式的值等 于主对角线上元素的乘积 容易看出,当行列式的元素全是数域中的数时,它的值也是数域中的一个数 二、行列式的性质 在行列式的定义中,为了决定每一项的下正负号,把个元素按行指标排起来 事实上,数的乘法是交换的,因而这个元素的次序是可以任意写的,一般地,n 级行列式中的项可以写成 (11) 其中…in,J/2…n是两个n级排列利用排列的性质,不难证明,(11)的符号 等于 )+r(1j2…n)
这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和. 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素 构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成 的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出， n 级行列式是由 n! 项组成的. 例 1 计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 . 例 2 计算上三角形行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 . (7) nn nn n n a a a a a a a a a 11 22 22 2 11 12 1 0 0 0 = . (8) 这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特 别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等 于主对角线上元素的乘积. 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的下正负号，把个元素按行指标排起来. 事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地， n 级行列式中的项可以写成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 , （11） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号 等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n i i i + j j j − . (12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称 的,因而为了决定每一项的符号,同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义 又可以写成 由此即得行列式的下列性质 性质1行列互换,行列式不变即 (16) 性质1表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行的性质, 对列也同样成立.例如由(8)即得下三角形的行列式 =a1(2…am
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称 的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义 又可以写成 = − n n n i i i i i i n i i i n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1) . (15) 由此即得行列式的下列性质： 性质 1 行列互换，行列式不变.即 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = . (16) 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质， 对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 =