第一章多项式 §1数域 教学目的:使学生掌握数域的概念,并能熟练地验证 教学重点:数域的定义与性质 教学难点:数域的验证 教学过程 、数的历史:(略) 、数的代数性质:关于数的加、减、乘、除等运算的性质 数所研究的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实 数、复数的全体所共有的 三、定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1。如果P中任意两个 数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域。 注:1、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域,这三个数域分别用字母Q、R、C来代表。 2、如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中,就说数 集P对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在 内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P就称 为一个数域 3、由于P对于减法是封闭的,且0=1-1,故数域的定义也进一步说成,如 果一个包含1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭 的,那么P就称为一个数域。 四、例子: 例1所有具有形式 a+bv2 的数(其中a,b是任何有理数),构成一个数域,通常用Q(√2)来表示这个数域 解:1、显然,Q(√2)包括0与1,且对于加、减法是封闭的 2、设a+b,c+√∈Q(√2),其中a,b,c,d∈Q,则
第一章 多项式 §1 数域 教学目的：使学生掌握数域的概念，并能熟练地验证 教学重点：数域的定义与性质 教学难点：数域的验证 教学过程： 一、数的历史：（略） 二、数的代数性质：关于数的加、减、乘、除等运算的性质。 数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实 数、复数的全体所共有的。 三、定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1。如果 P 中任意两个 数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 注：1、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域，这三个数域分别用字母 、 、 来代表。 2、如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数 集 P 对这个运算是封闭的。因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在 内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称 为一个数域。 3、由于 P 对于减法是封闭的，且 0 1 1 = − ，故数域的定义也进一步说成，如 果一个包含 1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭 的，那么 P 就称为一个数域。 四、例子： 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a b , 是任何有理数），构成一个数域，通常用 ( 2) 来表示这个数域。 解：1、显然， ( 2) 包括 0 与 1，且对于加、减法是封闭的； 2、设 a b c d + + 2, 2 ( 2) ，其中 a b c d , , , ，则
(a+b2)(c+dv2)=(ac+ 2bd)+(ad+bc)/2 因ac+2bdl,ad+be∈Q,故(a+b2e+d2)∈Q2),Q2对于乘法是封闭 的 3、设a+b,c+山∈Q√2),其中ab,c,d∈Q,且a+b互≠0,则 万≠0 2 bN2 c+d√2 因262·a-2a+65Q√2),Q√2)对于除法是封闭的。 例2所有可以表成形式对于加、减法是封闭的 a+a1+…+an bo +b 的数组成一数域,其中nm为任意非负整数,a,b,(1=0,…,nj=1…,m) 是整数。 (课堂上学生验证) 例3所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭 的:√2的整数倍的全体组成的数集,对于加、减法是封闭的,但对于乘法不是 封闭的 五、性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分 证明:设P是一个数域,则: 1、由数学归纳法,从P对于加、减法是封闭的,可得P包含全体整数 2、每一个有理数都是两个整数的商,由P对于除法是封闭的,可得P包含 全体有理数。 课程小结:1、数域的定义(强调对于四则运算的封闭性) 2、数域的性质(包含有理数域)
( 2)( 2) ( 2 ) ( ) 2 a b c d ac bd ad bc + + = + + + 因 ac bd ad bc + + 2 , ，故 ( 2)( 2) ( 2) a b c d + + ， ( 2) 对于乘法是封闭 的。 3、设 a b c d + + 2, 2 ( 2) ，其中 a b c d , , , ，且 a b + 2 0 ，则 a b − 2 0 ？，得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c d ac bd ad bc a b a b a b + − − = + + − − 因 2 2 2 2 2 , 2 2 ac bd ad bc a b a b − − − − ，故 2 ( 2) 2 c d a b + + ， ( 2) 对于除法是封闭的。 例 2 所有可以表成形式对于加、减法是封闭的 m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， , ( 0, , ; 1, , ) i j a b i n j m = = 是整数。 （课堂上学生验证） 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭 的； 2 的整数倍的全体组成的数集，对于加、减法是封闭的，但对于乘法不是 封闭的。 五、性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。 证明：设 P 是一个数域，则： 1、由数学归纳法，从 P 对于加、减法是封闭的，可得 P 包含全体整数。 2、每一个有理数都是两个整数的商，由 P 对于除法是封闭的，可得 P 包含 全体有理数。 课程小结：1、数域的定义（强调对于四则运算的封闭性） 2、数域的性质（包含有理数域）
