第三节极限的概念 习题 1.观察下列数列的变化趋势,指出它们是否有极限,若有极限,请写出其极 (1 11 (2)xn=(-1) (6) x,= In (7)0.1,0.11,0.111…,0.11…1 解(1)有极限,极限为0 (2)不存在极限 (3)有极限,极限为1 (4)不存在极限 (5)有极限,极限为1 (6)不存在极限(imxn=-∞) n→ (7)有极限,极限为1 2.用数列极限的定义证明 n2 (1)lin (2)Im→=0(a>0) H→①n 解(1) n(√m2+4+n)n 要使 4 -10取N=51,只要>N,就有2+4-<g,所以
1 第三节 极限的概念 习 题 1-3 1. 观察下列数列的变化趋势, 指出它们是否有极限, 若有极限, 请写出其极 限: (1) 1 1 ( 1)n n x n − = − ; (2) 1 ( 1)n n x n = − − ; (3) 1 1 n n x n − = + ; (4) π sin 2 n n x = ; (5) 1 cos π n x n = ; (6) 1 ln n x n = ; (7) 0.1, 0.11, 0.111, , " 0.11 1 N n " 个 , . " 解 (1) 有极限, 极限为0 . (2) 不存在极限. (3) 有极限, 极限为1. (4) 不存在极限. (5) 有极限, 极限为1. (6) 不存在极限( lim n n x →∞ = −∞ ). (7) 有极限, 极限为 1 9 . 2. 用数列极限的定义证明 (1) 2 4 lim 1 n n →∞ n + = ; (2) 1 lim 0( 0) n nα α →∞ = > . 解 (1) 2 2 2 4 4 44 1 ( 4) n nn nn n nn n + +− −= = . 于是, ∀ > ε 0, 取 4 N [ ] ε = , 只要 n N> , 就有 2 4 1 n n ε + − < , 所以 2 4 lim n n →∞ n + =1
只要 (a>0) 于是,v>0.取N=1,只要n>N,就有1-00) 3.设mxn=a,证明lmxn}=l,并举例说明反之未必成立 x-lsx-a,故vE>0,欲使|x-l0,彐N,当n>N时,xn-d0,使|x|≤M,对一切n都成 vE>0,因为lmyn=0,所以对于6∥0,3N,当n>N时,就有 0,彐8=5,当0<x-(
2 (2) 1 1 0 n n α α −= > . 于是, ∀ > ε 0, 取 1 N [ ] α ε = , 只要 n N> , 就有 1 0 nα − . 3. 设 lim n n x a →∞ = , 证明 lim n n x a →∞ = , 并举例说明反之未必成立. 证 n n ∵ x − a xa ≤ − , 故∀ε > 0 , 欲使 n x a − ε 0 , ∃ N , 当 n N> 时, n x a − 0 , 使 n x ≤ M , 对一切 n 都成立. ∀ > ε 0 , 因为 lim 0 n n y →∞ = , 所以对于 1 0 M ε ε = > , ∃ N , 当 n N> 时, 就有 n 1 y M ε ε 0, 2 ε ∃ = δ , 当 1 0 () 2 2 x ε < −− < 时, 就有 2 1 4 2 2 1 x x ε − − < + , 故 2 1 2 1 4 lim 2 x 2 1 x →− x − = +
m:2-4 于是,VE>0取X=,当x>X时,就 -00,彐X1>0,当x>X1时,就有f(x)-川0,彐x2>0,当xX时,有x>X或x0,彐6>0,只要00,彐6>0,只要00,只要-82<x-x<0,就有f(x)-4<E,取δ=min(3,2}
3 (2) sin 2 1 0 x x x − ≤ . 要使 1 x , 于是, ∀ > ε 0, 取 2 1 X ε = , 当 x > X 时, 就有 sin 2 0 x x − ε 0, 1 ∃ X > 0 , 当 1 x > X 时, 就有 fx A ( ) − 0, 2 ∃ X > 0 , 当 2 x X 时, 有 x > X 或 x 0 , 0 ∃δ > , 只要0 0 , 1 ∃δ > 0 , 只要 0 1 0 δ 0 , 只要 2 0 − <− < δ x x 0 , 就有 fx A ( ) − < ε , 取 min{ , } 1 2 δ = δ δ
只要0<x-x<6,就有f(x)-4<6,故Iimf(x)=A x→x
4 只要0 < 0 x − x < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 故 0 lim ( ) x x f x A → =