《线性代数复习》讲解

线性代数复习 矩阵(向量)的运算及性质 1.数组的矩阵表示: y1=a111+a12x2+…+a1nxn 若有线性变换T:y2=ax+a2x2+…+anx x 记 称为m维列向量或m×1的列矩阵,x=:一称为n维列向量或n×1的 列矩阵,A a21a2 一称为m×n的矩阵 则有T:y=A,或y=T(x)=Ax。TA(一一对应) VI =a1X 特别地,若有r:{=4x2,=:和x=:都为n维列向量, 0 0 x2 1,这里,A 称 为n阶对角阵,j=T(x)=A。若a1=1,i=1,2,…,n,记 E=/ 称为n阶单位阵。TE,称T为恒等变换 a 2矩阵的向量表示:设A=(an)m ,记α, 2i ,i=1,2,……,n, 则A=(a1a2…an)A的一种分块矩阵 an是A的n个m维列向量

1 线性代数复习 一、矩阵(向量)的运算及性质 1． 数组的矩阵表示： 若有线性变换 T：        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 ， 记           = m y y y   1 —称为 m 维列向量或 m 1 的列矩阵，           = n x x x   1 —称为 n 维列向量或 n 1 的 列矩阵，               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 —称为 mn 的矩阵， 则有 T y Ax   : = ，或 y T x Ax    = ( ) = 。T  A （一一对应） 特别地，若有        = = = n n n y a x y a x y a x T  2 2 2 1 1 1 : ，           = n y y y   1 和           = n x x x   1 都为 n 维列向量， x x x x a a a a x a x a x y y y y n n n n n       =                              =               =               = 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 ，这里，               = an a a 0 0 2 1   —称 为 n 阶对角阵， y T x x    = ( ) =  。若 ai =1，i =1, 2 ,  , n ，记               = = = 0 1 1 1 0  n n  E I —称为 n 阶单位阵。 T  En ，称 T 为恒等变换。 2 矩阵的向量表示：设               =  = m m mn n n ij m n a a a a a a a a a A a        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ，记 i n a a a mi i i i , 1, 2 , , 2 1    =                = ， 则 ( ) A =   n     1 2 — A 的一种分块矩阵，  n    , , 1 是 A 的 n 个 m 维列向量

组,于是y=A=(a1 an称向量y是 线性组合 B1 记=( 则A ,B1,…,B是A的m个 B !B. n维行向量组,于是y=Ax=: y=Bx,i=1…,m。(一般地,把行 向量写成列向量的转置) B B2 )=2是A=(a)m的两种特殊形式的分块矩阵。 Bm 3.矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算: 加减:若A=(an)mn,B=(bn)mn,则A+B=(an+b,)m,两矩阵相加减必须具有 相同行和列。 数乘:kA=k(an)mn=(ka1)mn,矩阵数乘必须每一个元素都数乘 乘积:若A=(an)m,B=(by)nw,AB能相乘必须要求A的列数=B的行数。此时, AB=(C)m,其中,Cn=∑ab 在相乘条件下有分配律:A(B+C)=AB+AC,结合律:A(BC)=(ABC=ABC, 般说来,AB≠BA,即交换律不一定成立 但是,若A=(a)m-A为m阶方阵,kC为正整数,称A是A的k次幂阵,于是有 A4·A2=4*,(4)2=A。若A=0称A为k次幂零阵 若a (b1 b,), 1b1 则ab=:|1…b,)=………|=C=(c,)m—m阶方阵,由此

2 组，于是 n n n n x x x x y Ax              = + +           = = 1 1 1 1 ( ) —称向量 y  是  n    , , 1 的 线性组合。 记 ai ai ain i m T i ( ) 1, 2 , , 1 2     = = ，则             = T m T A      1 ， T m T      , , 1 是 A 的 m 个 n 维行向量组，于是 y Ax x T m T                   = =  1             = x x T m T       1 ， y x i m T i i , 1,  ,   =  = 。（一般地，把行 向量写成列向量的 转置） ∴ ( ) A =   n     1 2               = T m T T        2 1 是 A = aij mn ( ) 的两种特殊形式的分块矩阵。 3． 矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算： 加减：若 A = aij mn ( ) ， B = bij mn ( ) ，则 A + B = aij + bij mn ( ) ，两矩阵相加减必须具有 相同行和列。 数乘： ij m n ij m n k A= k a  = k a  ( ) ( ) ，矩阵数乘必须每一个元素都数乘。 乘积：若 A = aij mn ( ) ， B = bij n ( ) ， AB 能相乘必须要求 A 的列数 = B 的行数。此时， AB = Cij m ( ) ，其中， = = n k Cij aikbkj 1 在相乘条件下有分配律： A(B + C) = AB + AC ，结合律： A(BC) = (AB)C = ABC ，一 般说来， AB  BA ，即交换律不一定成立。 但是，若 A = aij nn ( ) — A 为 n 阶方阵， k, 为正整数，称 k A 是 A 的 k 次幂阵，于是有  + • = k k A A A ， k  k (A ) = A 。若 = 0 k A 称 A 为 k 次幂零阵。 若           = an a a   1 ， ( ) n T b b  b  = 1 ， 则⑴ ( ) i j n n n n n n n n T C c a b a b a b a b b b a a a b  • = =           =           = ( ) 1 1 1 1 1 1          ——n 阶方阵，由此

R(C)≤mn(a,b)≤1,若cn至少有一个为非零,则R(C)=1。 27,a=1…b):-a+ab2+…+a1b)=a+a2b2+…+a. 阶方阵为一数,称数a1b1+a2b2+…anbn是向量ab的内积(或数量积),线性代数 中记为[ab]=b7·a,高数中记为ab。此时,由乘积结合律 b)=a·(b =(a+…+anbn) 4.转置运算:设A=(an)m,则称B=A=(b2)m,b=an为A的转置矩阵,A中第 i行第j列元素恰为A的第i列第j行元素。运算规律:(41)=A, (A+B)=A f,(AB)2=BA≠A 5.分块矩阵的线性运算,乘积运算和矩阵类似: i a=(a, )msn, B=(b )mxt, C=AB=(c )mxt 此时,C=AB=(b1b2…b)=(4b1Ab2…Ab2)-这是C的一种分块 Ab2i=1,2,…,C是C的列向量组。 iaiB 又,C=AB=:B= 这是C的另一种分块 a: b i=1.2 是C的行向量组 若C 则E1=Ab 由矩阵的分块运算,若a1,a2,…,am是同维向量组(分量个数相同),则 a1,a2,…,an的一个线性组合为: k1a1+k2a2+…+knam=(k m为列向量组;

3 ( )  min( , ) 1 T R C a b   ，若 ij c 至少有一个为非零，则 R(C) =1。 ⑵ ( ) n n n n n n T a b a b a b a b a b a b a a b a b b = + + + = + + +           =  •       1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) ，一 阶方阵为一数，称数 a1b1 + a2b2 +anbn 是向量 T a b   , 的内积（或数量积），线性代数 中记为 a b b a T     [ , ] = • ，高数中记为 a b   • 。此时，由乘积结合律 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k T n n T k T k T a b a b a b a b a b a b      • − • − • = • • = + + 。 4． 转置运算：设 A = aij mn ( ) ，则称 ij n m T B = A = b  ( ) ，bij = a ji 为 A 的转置矩阵， T A 中第 i 行第 j 列元素恰为 A 的第 i 列第 j 行元素。运算规律： A A T T ( ) = ， T T T (A + B) = A + B ， T T (A) = A ， T T T T T (AB) = B A  A B 。 5． 分块矩阵的线性运算，乘积运算和矩阵类似： 设 A = aij mn ( ) ， B = bij n ( ) ， = = ij m C AB (c ) ， 此时， ( ) ( ) 1 2  1 2          C = AB = A b b b = Ab Ab Ab —这是 C 的一种分块，    Ab i =1, 2 , , i 是 C 的列向量组。 又，             =             = = a B a B B a a C AB T m T T m T       1 1 —这是 C 的另一种分块， a B i m T i 1, 2 ,  ,  = 是 C 的行向量组。 若 ( ) 1     C = c c ，则     c = Ab i =1, 2 , , i i 。 由矩阵的分块运算，若    m     , , , 1 2 是同维向量组(分量个数相同)，则    m     , , , 1 2 的一个线性组合为：           + + + = m m m m k k k k k              1 1 1 2 2 1 ( ) ，   m     , , , 1 2 为列向量组；

k1a1+k2a2+…+knam=(a1…am m为行向量组 例:设A=-1-1,B ,求(AB)00 242 解:∵AB=-1-30 0 -3/F是, 10 A(BA)B 类似地,(1)2| 2(3-11)2 2叫2(-3-1 , b a,6, ,这里 n, b, a b c=a1b1+…+anbn° 初等变换和初等方阵 1.初等行或列)变换:记分或G分)一交换第i行(或列)和第j行(或列)对应元素 k(或kc)——第i行(或列)对应元素乘k倍。F+k减或c1+kc;)一第j行(或列)上元 素的k倍加到第i行(或列)上的对应元素 2.初等方阵:对n阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵 + En分En(,),En→>En((k),En→En(,(k)) (1)初等方阵En(,),En((k)(k≠0),En(,(k))都是可逆阵。并且

4           + + + = m m m m k k k k k         1 1 1 2 2 1    (  ) ，   m     , , , 1 2 为行向量组。 例：设           − = − − 1 2 1 1 2 0 A ，         − = 0 1 1 1 2 1 B ，求 100 (AB) 。 解：∵           − − = − − 1 0 3 1 3 0 2 4 2 AB ，         − − = 0 3 1 0 BA ，于是，         −         − −           − = − −         − − = = 0 1 1 1 2 1 0 3 1 0 1 2 1 1 2 0 0 3 1 0 ( ) ( ) 9 9 9 9 100 9 9 AB A BA B A B           −  +  + − − − − = 99 99 99 99 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 4 2 。类似地，⑴ ( ) 100 3 1 1 3 2 1           − −           ( ) ( 3 1 1) 3 2 1 3 1 1 3 2 1 99 − −                     − −           = ( )           − − − − − − − − = −           = − 9 3 3 6 2 2 3 1 1 3 1 1 2 3 2 1 2 99 99 。⑵ ( )           =                     =           − n n n n k k n n k n n n n a b a b a b a b b b c a a a b a b a b a b             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，这里 a b anbn c = 1 1 ++ 。 二．初等变换和初等方阵 1．初等行(或列)变换：记 i j r  r (或 i j c  c )——交换第 i 行(或列)和第 j 行(或列)对应元素。 i kr (或 i kc )——第 i 行(或列)对应元素乘 k 倍。 i j r + kr (或 i j c + kc )——第 j 行(或列)上元 素的 k 倍加到第 i 行(或列)上的对应元素。 2． 初等方阵：对 n 阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。 ( , ) ( ) E E i j n c c r r n i j i j    或 ， ( ( )) ( ) E E i k n c k r k n i i   → 或 ， ( , ( ) ) ( ) E E i j k n r kr c kc n i j i j + + → 或 。 ⑴ 初等方阵 E (i , j) n ， E (i(k)) (k  0) n ， E (i, j(k) ) n 都是可逆阵。并且

(E(,)=En(i,),(En(i(k))=E(),(En(,(k))=En(,j(-k) (2)对A=(an)m施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在A的左方(或右方乘上 个相应的m阶(或n阶)初等方阵,即 A~A1分A1=Em(,j)A,A~A2分A2=AEn(,f(k) (行变换——左乘初等方阵,列变换一—右乘初等方阵)。 43 例1:求X,使100x010=20-1。 解:由于100=E2(1,2),∴100=(E3(,2)-=E:(12):又 010|=E3(3,2(2) 010=(E(32(2)2=E3(32(-2)=010。于是, 0 Y=E3(2)20-1E3(32(-2)=1-43E3(32(-2)=1-411 1-20 1-24 a1 a22 例2:选择题,设A=a21a2a23,B=a1 a1 010 P=100,P2=010,则有()。(A)APP2=B,(B)APP=B,(C) PP2A=B,(D)P2PA=B 解:由P=E3(1,2),P2=E3(3,l(1),故选(C) 三.利用行列式的性质计算低阶和n阶行列式的值 1.行列式的初等变换性质(以行变换为例)

5 ( ( , )) ( , ) 1 E i j E i j n = n − ， )) 1 ( ( ( ))) ( ( 1 k E i k E i n = n − ，( ( , ( ) )) ( , ( ) ) 1 E i j k E i j k n = n − − 。 ⑵ 对 A = aij mn ( ) 施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在 A 的左方(或右方)乘上一 个相应的 m 阶(或 n 阶)初等方阵，即 A A A Em i j A r r i j ~ ( , ) 1  1 =  ， ~ ( , ( ) ) 2 2 A A A AE i j k n c kc i j  = + (行变换——左乘初等方阵，列变换——右乘初等方阵)。 例 1：求 X ，使           − − − =                     1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X 。 解：由于 (1, 2) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 = E3           ，∴ ( (1, 2)) (1,2) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 1 3 1 = E = E           − − ；又 (3,2(2) ) 0 2 1 0 1 0 1 0 0 = E3           ， ∴           − = = − =           − − 0 2 1 0 1 0 1 0 0 ( (3,2(2) )) (3,2( 2)) 0 2 1 0 1 0 1 0 0 3 1 3 1 E E 。于是， (3,2( 2)) 1 2 0 1 4 3 2 0 1 (3,2( 2)) 1 2 0 2 0 1 1 4 3 (1,2) 3 3 3 −           − − − − =           − − − X = E E E           − − − = 1 2 4 1 4 11 2 0 1 。 例 2：选择题，设           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ，           + + + = 31 11 32 12 33 13 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B ，           = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 P1 ，           = 1 0 1 0 1 0 1 0 0 P2 ，则有（ ）。（A） AP1P2 = B ，（B） AP2P1 = B ，（C） P1P2 A = B ，（D） P2P1A = B 。 解：由 (1,2) P1 = E3 ， (3,1(1)) P2 = E3 ，故选（C）。 三．利用行列式的性质计算低阶和 n 阶行列式的值 1． 行列式的初等变换性质（以行变换为例）：

D1,D1是D作厂后的行列式 D1,D1是D作rxk,(k≠0)后的行列式 (k≠0)k D1,D1是D作+k后的行列式 推论:(1)k4=k"4≠k4,其中A=(an)m,行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的 (2)若行列式D的二行(或二列对应元素成比例,则D=0。 2.D b,l a,2+ bn2 即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的,此时,≠4+1B 3.方阵A=(an)m的行列式性质:0)4=|1(1,A=(an)m:2)k4=k"4 (3)若B=(b)m,则|AB=4B=|BA,但是AB不一定等于BA 4.行列式的 Laplace展开法则 设 4 其中A是an的代数余子 5.范德蒙行列式 (x1-x)=(x2-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xm1)

6 D1 r r D i j −  ， D1 是 D 作 i j r  r 后的行列式； 1 ( 0) 1 D k D r k k i  = ， D1 是 D 作 r  k,(k  0) i 后的行列式； D1 r kr D i + j ， D1 是 D 作 i j r + kr 后的行列式。 推论：⑴ kA k A k A n =  ，其中 A = aij nn ( ) ，行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的。 ⑵若行列式 D 的二行(或二列)对应元素成比例，则 D = 0。 2． n n n n i i i n n n n n n i i i n n n n n n i i i i i n i n n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a D                                  1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 = + + + = + ，而           + + + + + + = n n n n nn nn n n a b a b a b a b a b a b C       1 1 2 2 11 11 12 12 1 1 A B b b b b b b a a a a a a n n nn n n n nn n = +           +           =             1 2 11 12 1 1 2 11 12 1 ， 即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时， C  A + B 。 3． 方阵 A = aij nn ( ) 的行列式性质：⑴ T A = A ， ji n n T A = a  ( ) ；⑵ kA k A n = ； ⑶ 若 B = bij nn ( ) ，则 AB = A B = BA ，但是 AB 不一定等于 BA。 4． 行列式的 Laplace 展开法则： 设 n n A aij  = ( ) ，则 j i A j i a A n k ik jk  =     = =1 0 ，其中 Aij 是 ij a 的代数余子式。 5． 范德蒙行列式： 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 − − − = n n n n n n x x x x x x D        ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 1 1 −    = j − i = − n − − n − n − n i j n  x x x x  x x x x  x x  x x

共有(n-1)+(m-2)+…+2+1=m-个因子 1694925/-(-3-47-45-4)7+3)5+3)5-7)=350 6.对角阵和反块对角阵的行列式 0 0 若A= 则|4=a1…an;若B B=( 若 A,…A为方阵,则A=A1…A 0 7.n阶行列式计算技巧: (1)利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算 a a2 a 例1求D=41+a2 各行元素之和为常数1+a1+ al ta 解: ai 1+ 0 00 3333 例2.求D 3333 →第3行(或列元素都为3。解: 3334

7 共有 2 ( 1) ( 1) ( 2) 2 1 − − + − + + + = n n n n  个因子。 例： ( 3 4)(7 4)(5 4)(7 3)(5 3)(5 7) 3360 64 27 343 125 16 9 49 25 4 3 7 5 1 1 1 1 4 = − − − − + + − = − − D = 。 6. 对角阵和反块对角阵的行列式： 若           = an a A 0 1 0  ，则 A = a1 an ；若           = 0 0 1 bn b B  ， n n n B b1b 2 ( 1) ( 1) − = − 。 若 s s A A A A A , , , 0 0 1 1             = 为方阵，则 A = A1 As 。 7． n 阶行列式计算技巧： ⑴ 利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算。 例⒈ 求 n n n n a a a a a a a a a D + + + = 1 1 1 1 2 1 2 1 2        ，各行元素之和为常数 1+ a1 ++ an 。 解： n n n n i i n n a a a a a a a c c c D + +         + + + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2                 = +         + − −   = = n i i n n i i n a a a a r r r r 1 2 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1         。 例⒉ 求 n Dn 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3             = →第 3 行(或列)元素都为 3。解：

333 33 203 scCc 3001 000.0 003 =6(n-3) 例3.求Dn=Aan)an=-小,即求n阶对称行列式 2 0 n7 之值 解:由于D,的第一行和第n行对应元素相加后,每一个元素都为n-1,故 0 D 0 又第二行到第n行中相邻二项之差为±1,故 (n-1)2-1

8 0 0 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 4 3 2 3 1 3 − − − − − − − = n c c c c c c c c n D n n                        6( 3)! 3 0 2 1 1 1 0 2 3 = − − − − = n n  。 例⒊ 求 D a a i j n = ( ij), ij = − ，即求 n 阶对称行列式 n n nn n n n a a a a a a a a a D        1 1 21 22 2 11 12 1 = 1 2 3 1 0 2 3 4 0 1 2 1 0 4 3 1 0 1 3 2 0 1 2 2 1            − − − − − − − − − − − − = n n n n n n n n n n n n 之值。 解：由于 Dn 的第一行和第 n 行对应元素相加后，每一个元素都为 n −1 ，故 1 2 3 1 0 2 3 4 0 1 2 1 0 4 3 1 0 1 3 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1            − − − − − − − − − − − + n n n n n n n n n n n r r D n n ， 又第二行到第 n 行中相邻二项之差为 1 ，故 ( 1)阶 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ( 1) c c − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − n n n n n n n n n c c c c D                    

00 00 (-1)-12n-2(n-1) 1-10 例4.求实对称阵A=-12-1的特征根 解:-4=12-21,由于-4的每一行元素之和都为入,故 r1+F2+r3 1-21 02-30=(2-1)-3)=0。 入1=0,2=1,A3=3为实对称阵A的所有特征根。 -22x-12x-22x-3 例5:设f(x) 3x-33x-24x-53x- s求f(x)=0的根。解: 4x-35x-74x x-2x-1x-2x-3 f(x)r2-2 Bx-33x-24x-53x- x-33x-24x-53x 4x-35x-74 000 101 c3-c12 101 3+C x 1x-2-1 c4-C3x-31x-2 4 =5x(x-1)=0,x1=0,x2=1。 1+x 例6:求D=11-x 解 11

9 （ ） 阶 ( 1) 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 3 1 2 1 = − − − − − − − − − − − − − − + + − − − + − n n c c c c c c n n n n            。 例⒋ 求实对称阵           − − − − = 0 1 1 1 2 1 1 1 0 A 的特征根。 解： 0 1 1 1 2 1 1 1 0  −  −  − I − A = ，由于 I − A 的每一行元素之和都为  ，故 I − A ( 1)( 3) 0 0 1 1 0 3 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 =   −  − =  −   − −  −   − r + r + r r r 。 1 = 0 ， 2 =1， 3 = 3 为实对称阵 A 的所有特征根。 例 5：设 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 ( ) − − − − − − − − − − − − − − − = x x x x x x x x x x x x x x x x f x ，求 f (x) = 0 的根。解： 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 1 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 2 1 − − − − − − − − − − − − x x x x x x x x x x x x f x r r 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 1 2 3 1 1 1 1 − − − − − − − = x x x x x x x x x 4 3 7 3 3 3 1 2 2 2 1 0 1 1 0 0 0 4 1 3 1 2 1 − − − − − − − − − − x x x x x c c c c c c 3 7 6 1 2 1 1 0 0 3 7 3 1 2 2 1 0 1 3 1 − − − − − − + − − − − − − = x x x c c x x x = 5x(x −1) = 0, x1 = 0; x2 =1。 例 6：求 y y x x D − + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 。解：

D 11+y1011+y1 11 例7:求D= a 2a+b 3a+2b+c 4a+36+2c+d a 3a+b 6a+36+c 10a+66+3c+d r4-73 D-no aa+b a+b+ no aa+b a+b+ 72-10a2a+b3a+2b+ 00a 0 a 3a+b 6a+36+ 00 3a+b (2)某行(或列)有很多零的 Laplace展开 例1.求D,= 。解:按第一行展开: 00 ,按第一列展开 n-1)阶 10 00 例2.求D 0 其中 a

10 y y x D − + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y y x x − + − + 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 = x y 。 例 7：求 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 1 。解： a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d r r r r r r D + + + + + + + + + − − − 0 3 6 3 0 2 3 2 0 2 1 3 2 4 3 4 3 2 4 3 0 0 3 0 0 2 0 a a a b a a b a a b a b c a b c d r r r r = + + − + + + − ⑵ 某行(或列)有很多零的 Laplace 展开。 例⒈ 求 a a a a Dn       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 。解：按第一行展开： 阶 阶 ( 1) 1 ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 − + − = + − n n n n a a a a a D a            ，按第一列展开： ( 1) 0 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 2) 1 = + − − = − − − + a a a a D a n n n n n n 阶  。 例⒉ 求 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a x a x x x D n n n n + − − − = − −           。解： 1 2 2 1 1 1 2 ( ) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 f x a a a x a x x r x r x r D n n n n n + − − − + + + − − −            ，其中