第四节极限的基本性质 习题1-4 证明数列1,0,1,0…的极限不存在 证用{un}表示此数列,则易知该数列的子数列{a2n+t}收敛于0,{a2n}收敛于 1,由收敛数列与其子数列之间的关系知,该数列的极限不存在 2.试证明x→x时函数极限的局部有界性定理 证设imf(x)=A,则由极限定义,ⅤE>0,彐6>0,使得当00(或A0,当>x时,f(x)>0(或f(x)0为例证之,A0,彐X>0,当冈>X时,就有 (x)-40,彐K1>0,使得当k>K1时,有 x2k→a(k→∞),故对上述E>0,彐K2>0,使得当k>K2时,有 x2k-a 取N=max{2k1-1,2k2},当n>N时,有x-<E.即x→a(n→∞)
1 第四节 极限的基本性质 习 题 1-4 1. 证明数列1, 0,1, 0," 的极限不存在. 证 用{ }n u 表示此数列, 则易知该数列的子数列 2 1 { } n u + 收敛于 0 , 2 { }n u 收敛于 1, 由收敛数列与其子数列之间的关系知, 该数列的极限不存在. 2. 试证明 0 x → x 时函数极限的局部有界性定理. 证 设 0 lim ( ) x x f x A → = , 则由极限定义, 0 ∀ε > , 0 ∃δ > , 使得当 0 0 0 (或 A 0 , 当 x > X 时, ( ) 0 f x > (或 f x() 0 0 为例证之, 0 A , 0 ∃ X > , 当 x > X 时, 就有 ( ) 2 A fx A − ε 0 , 1 ∃ K > 0 , 使得当 1 k K> 时, 有 2 1 k x a ε − − 0 , 2 ∃ K > 0 , 使得当 2 k K> 时, 有 2k x a − 时, 有 n x a − < ε . 即 n x → a ( ) n → ∞
证明:当x→0时,in2没有极限 4n+1 (n=12…),则 lim x=0,imy=0,但 如m=0厘如x 所以 lim sin-不存在 6.证明:当x→+∞时,sin√x没有极限 )x2(n=1,2,…),则 lim x= +∞ lim sin√xn=0≠ lim sin 所以 lim sin√x不存在
2 5. 证明: 当 x → 0 时, π sin x 没有极限. 证 令 1 n x n = , 2 4 1 n y n = + ( 1,2, ) n = " , 则 lim 0 n n x →∞ = , lim 0 n n y →∞ = , 但 π π lim sin 0 lim sin 1 n n n n →∞ →∞ x y =≠ = , 所以 π lim sin n→∞ x 不存在. 6. 证明: 当 x → +∞ 时, sin x 没有极限. 证 令 2 (2 π) n x = n , 1 2 [(2 )π] 2 n y n = + ( 1,2, ) n = " , 则 lim n n x →∞ = +∞ , lim n n y →∞ = +∞ , 但 lim sin 0 lim sin 1 n n n n x y →∞ →∞ =≠ = , 所以 lim sin n x →∞ 不存在