第二章导数与微分 第一节导数的概念 习题2-1 1.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却.若物体的温度T 与时间t的函数关系为T=T(),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度? 解该物体在时刻t的冷却速度为 2.设对1g质量的物体加热,使他的温度从0℃升高到t℃,这物体吸收的热 量为q=q(1),求物体在温度6℃时的比热(比热是1g物体温度升高1℃所需的热量 解物体在温度b℃时的比热为 lim 9(0+ An)-9(fo) Mt→0 3.自由落体的运动规律为s 其中g是重力加速度,求 (1)物体在3s到4s这一时段的平均速度; (2)物体在3s时的瞬时速度. 解(1)物体在3s到4s这一时段的平均速度为 FS(+△)-s()28421 g (2)物体在3s时的瞬时速度为 g(3+△n)2-g32 4.证明(cosx)'=-sinx
1 第二章 导数与微分 第一节 导数的概念 习 题 2-1 1. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却. 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T Tt = ( ) , 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度? 解 该物体在时刻t 的冷却速度为 0 d ( ) () lim d t T Tt t Tt t t Δ → + Δ − = Δ . 2. 设对 1 g 质量的物体加热, 使他的温度从 0℃升高到t ℃, 这物体吸收的热 量为 q qt = ( ) , 求物体在温度 0t ℃时的比热(比热是1 g 物体温度升高1℃所需的热量). 解 物体在温度 0t ℃时的比热为 0 0 0 0 d ( ) () lim d t t t q qt t qt t t Δ → = +Δ − = Δ . 3. 自由落体的运动规律为 1 2 2 s = gt , 其中 g 是重力加速度, 求 (1) 物体在3s 到 4s 这一时段的平均速度; (2) 物体在3s 时的瞬时速度. 解 (1) 物体在3s 到 4s 这一时段的平均速度为 1 1 2 2 4 3 ( ) () 7 2 2 43 2 g g st t st v g t − +Δ − === Δ − ( m s). (2) 物体在3s 时的瞬时速度为 2 2 0 1 1 (3 ) 3 2 2 lim 3 t gt g v g Δ → t +Δ − = = Δ ( m s ). 4. 证明 (cos ) sin x ′ = − x
证(cosx)= lim cos(x+△x)-cosx 2x+△ 5.假设∫(x)存在,按照导数的定义求下列极限 (1) lim f(x0+3h)-f(x) Ax→0 h (3)im2(x+b)-f(x-h) (4)lim川[f(x+)-f(x0 f(x0-△x)-f(x) lim (xo-Ax)-(xo2=-f'(ro) (2)lm/(x+3)-f(x0)=3lim (+3)-/x)=3(xn) (3)Im(x+)二/(==m(+b(x)+/(x)-/一b f(x+h)-/(x)+m(x-h)-/(x 2f(x0) h f(x0+)-f(x0) (4)lim n[(xo+2n )-f(xo)]=lim =2f(x) 6.设f(0)=0,且f(0)存在,求lm( #2 lim /(x)=lim /(x)-/0)=/o 7.求下列函数的导数 (1)y=2;(2)y=x3.x;(3) x2x ;(4)y=e2x 2 16 16 解(1)y=(x3) (2)y'=(x5)=-x
2 证 0 0 2 2sin( )sin cos( ) cos 2 2 (cos ) lim lim x x x x x xx x x Δ→ Δ→ x x + Δ Δ − +Δ − ′ = = Δ Δ 0 sin 2 2 lim sin( ) sin 2 2 x x x x x Δ → x Δ + Δ = − =− Δ . 5. 假设 0 f ′( ) x 存在, 按照导数的定义求下列极限: (1) 0 0 0 ( ) () lim x f x x fx Δ → x −Δ − Δ ; (2) 0 0 0 ( 3) ( ) lim h f x h fx → h + − ; (3) 0 0 0 ( )( ) lim h f x h fx h → h +− − ; (4) 0 0 1 lim [ ( ) ( )] n 2 nf x f x →∞ n + − . 解 (1) 0 0 0 ( ) () lim x f x x fx Δ → x −Δ − Δ = 0 0 0 0 ( ) () lim ( ) x fx x fx f x Δ → x − Δ − − =− ′ −Δ . (2) 00 00 0 0 0 ( 3) ( ) ( 3) ( ) lim 3lim 3 ( ) h h 3 fx h fx fx h fx f x → → h h +− +− = = ′ . (3) 0 0 0 000 0 0 ( ) ( ) ( ) () () ( ) lim lim h h f x h fx h fx h fx fx fx h → → h h +− − +− + − − = 00 00 0 0 0 ( ) () ( ) () lim lim 2 ( ) h h fx h fx fx h fx f x → → h h + − −− =+= ′ − . (4) 0 0 00 0 1 ( ) () 11 1 2 lim [ ( ) ( )] lim ( ) 22 2 1 2 n n fx fx n nf x f x f x n n →∞ →∞ + − +− = = ′ . 6. 设 f (0) 0 = , 且 f ′(0) 存在, 求 0 ( ) lim x f x → x . 解 0 0 ( ) ( ) (0) lim lim (0) x x 0 fx fx f f → → x x − = = ′ − . 7. 求下列函数的导数: (1) 3 2 y x = ; (2) 3 5 yx x = ⋅ ; (3) 2 3 5 x x y x = ; (4) 2 e x y = . 解 (1) 2 1 3 3 2 ( ) 3 yx x− ′ ′ = = ; (2) 16 11 5 5 16 ( ) 5 yx x ′ ′ = = ;
3)y=(x6)=6 (4)y’=[(e2)y=(e2)lne2=2e2x 8.如果f(x)为偶函数,且f(0)存在,证明f(0)=0 证因为 f(o=:=lm(/0=1m(x x→0x r(o=(0=1m(=x)-f0)=-lm(x 所以f(O)=-f(0),即f(O)=0 9.求曲线y=c在点(O,1)处的切线方程 解曲线y=c在点(0)处的切线的斜率为y1-0=c-=1,切线的方程为 y-1=(x-0),即x-y+1=0 10.在抛物线y=x2上取横坐标为x=1及x2=3的两点,作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线? 解割线的斜率为k=3-1=4,设所求的点为(xnx),由题意知 y1=2x=4,故而所求的点为(24 11.讨论下列函数在点x=0处的连续性与可导性 (1) 0 解(1)y=|nx在x=0处连续,因为 sin O sIn x f(0)= lim sinx-sIn sIn x ∫(0)=lin x→0x 1≠f(0) 所以y=sinx在x=0处不可导 (2)由于limx2sin2=0,所以函数在x=0处连续.另外 f(O)=lim -x=limxsin-=0 →0x-0
3 (3) 1 7 6 6 1 ( ) 6 yx x − − ′ ′ = =− ; (4) 2 2 22 [(e ) ] (e ) ln e 2e x x x y′ ′ == = . 8. 如果 f ( ) x 为偶函数, 且 f ′(0) 存在, 证明 f ′(0) 0 = . 证 因为 0 0 ( ) (0) ( ) (0) (0) lim lim x x 0 f x f fx f f x x + → → + + − ′ ′ == = − , 0 0 ( ) (0) ( ) (0) (0) lim lim x x 0 f x f fx f f x x − → → + + − − ′ ′ = = =− − − , 所以 f f ′ ′ (0) (0) = − , 即 f ′(0) 0 = . 9. 求曲线 ex y = 在点(0,1) 处的切线方程. 解 曲线 ex y = 在点 (0,1) 处的切线的斜率为 0 0 e 1 x x x y = = ′ = = , 切线的方程为 y x −= − 1 ( 0) , 即 x y − +=1 0 . 10. 在抛物线 2 y x = 上取横坐标为 1x =1及 2 x = 3 的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线? 解 割线的斜率为 2 2 3 1 4 3 1 k − = = − , 设所求的点为 2 0 0 (, ) x x , 由题意知 0 0 2 4 x x y x = ′ = = , 故而所求的点为(2, 4) . 11. 讨论下列函数在点 x = 0 处的连续性与可导性: (1) y x = sin ; (2) 2 1 sin , 0, 0, 0. x x y x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = 解 (1) y x = sin 在 x = 0 处连续, 因为 0 0 sin sin 0 sin (0) lim lim 1 x x 0 x x f x x + → → + + − ′ = == − , 0 0 sin sin 0 sin (0) lim lim 1 (0) x x 0 x x f f x x − + → → − + − ′ ′ = = − =− ≠ − , 所以 y x = sin 在 x = 0 处不可导. (2) 由于 2 0 1 lim sin 0 x x → x = , 所以函数在 x = 0 处连续. 另外 2 0 0 1 sin 0 1 (0) lim lim sin 0 x x 0 x x f x → → x x − ′ = == −
故而∫(x)在x=0处可导 12.设函数 f(x) ≤1, lax+b,x>1 为了使函数在点x=1处连续且可导,常数a,b应取什么值? 解因为 f(1+0)= lim ax+b=a+b,f(1-0) 所以由函数在点x=1处连续条件知,a+b=1,即b-1=-a.另外 ax+ A(=li x-I lim ar-a =a,∫()=ln 所以由函数在点x=1处可导的条件知,a=2,b=-1 3.已知f(x) 求∫(0)及厂(0),又f(0)是否存在? -x.x0时,∫(x)=(x)=1;当x=0时 f(0)= lim L,f(O)= lim sinx-o 1,从而f(0)=1 x→0x-0 故而∫(x) ≥0
4 故而 f ( ) x 在 x = 0 处可导. 12. 设函数 2 , 1, ( ) , 1. x x f x ax b x ⎧⎪ ≤ = ⎨ ⎪⎩ + > 为了使函数在点 x =1处连续且可导, 常数 a b, 应取什么值? 解 因为 1 (1 0) limx f ax b a b → + + = +=+ , 2 1 (1 0) lim 1 x f x → − − = = , 所以由函数在点 x =1处连续条件知, 1 a b + = , 即b a −1 = − . 另外 0 0 1 (1) lim lim x x 1 1 ax b ax a f a x x + → → + + +− − ′ = == − − , 2 1 1 (1) lim 2 x 1 x f x − → − − ′ = = − , 所以由函数在点 x =1处可导的条件知, 2, 1 a b = = − . 13. 已知 2 , 0, ( ) , 0, x x f x x x ⎧⎪ ≥ = ⎨ ⎪⎩− 0 时, ( ) ( ) 1 fx x ′ = ′ = ; 当 x = 0 时, 0 0 0 sin 0 (0) lim 1, (0) lim 1 x x 0 0 x x f f x x + − → → + − − − ′ ′ = == = − − , 从而 f ′(0) 1 = . 故而 cos , 0, ( ) 1, 0. x x f x x ⎧ < ′ = ⎨ ⎩ ≥