第一章一元函数的极限与连续 第一节一元函数 习题1-1 1.求下列函数的定义域 (1)y= sIn x (3)y=ln(x+1); (4) y=er- 解(1)由√2x2+5x-3≠0且2x2+5x-320得函数定义域为(-∞,-3)U (2)由sinx-cosx≥0得函数定义域为[+2{x,+2kπ],k为整数 (3)由x+1>0得函数定义域为(-1,+∞) (4)由x-1≠0得函数定义域为(-∞,1)U(,+∞) 2.下列函数f(x)和o(x)是否相同,为什么? (1)f(x)= (2) f(x)=Inx, p(x)=2Inx (3) f(x)=l, p(x)=sec-x-tan-x (4)f(x)=√x+√x-1,o(x)=√x2-1 解(1)f(x)定义域为{xx≠±1x∈R},o(x)定义域为{xx≠-1,x∈R},两函 数定义域不同,故为不同函数 (2)f(x)定义域为{x|x≠0,x∈R},(x)定义域为{xx>0,x∈R},两函数定义 域不同,故为不同函数
1 第一章 一元函数的极限与连续 第一节 一元函数 习 题 1-1 1. 求下列函数的定义域： (1) 2 1 2 53 y x x = + − ; (2) y xx = − sin cos ; (3) ln( 1) y x = + ; (4) 1 1 e x y − = . 解 (1) 由 2 2 5 30 x x + −≠ 且 2 2 5 30 x x + − ≥ 得函数定义域为 ( , 3) −∞ − ∪ 1 (, ) 2 + ∞ . (2) 由sin cos 0 x x − ≥ 得函数定义域为 π 5π [ 2 π, 2 π] 4 4 + + k k , k 为整数. (3) 由 x + >1 0 得函数定义域为( 1, ) − +∞ . (4) 由 x − ≠1 0 得函数定义域为( ,1) (1, ) −∞ +∞ ∪ . 2. 下列函数 f ( ) x 和ϕ( ) x 是否相同, 为什么？ (1) 2 1 1 () , () 1 1 x fx x x x ϕ − = = − + ; (2) 2 f ( ) ln , ( ) 2ln x xx x = = ϕ ; (3) 2 2 f ( ) 1, ( ) sec tan x x xx = =− ϕ ; (4) 2 fx x x x x ( ) 1 1, ( ) 1 = +− =− ϕ . 解 (1) ( ) f x 定义域为{ 1, } xx x ≠± ∈ R , ( ) ϕ x 定义域为{ 1, } xx x ≠− ∈ R , 两函 数定义域不同, 故为不同函数. (2) ( ) f x 定义域为{ 0, } xx x ≠ ∈R , ( ) ϕ x 定义域为{ 0, } xx x > ∈R , 两函数定义 域不同, 故为不同函数
3)f(x)定义域为R,叫x)定义域为(x≠{+万,k∈Z},两函数定义域不同 故为不同函数 (4)f(x)定义域为[,+∞),(x)定义域为(-∞,-lU[L+∞),两函数定义域不 故为不同函数 3.已知f(x)=2x,g(x)=xlnx,求∫[g(x)],g[f(x),∫[f(x)],g[g(x) 解∫[g(x)=2 glf(x)]=2 In 2=(In 2)x2 fff(x) gg(x)=xInxIn(xIn x 4.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (x+√1+x (4)y=arcsin vx2 In u ()y=e,u=v, v=sinx (4)y=arcsin, u=v,v=x+ 5.求下列函数的反函数及反函数的定义域 (1)y=ln(x+2)+1 (2)y=cos2x+2,x∈[0.]; (3)y ax+b (ad-bc≠0) (6)y={x2,1≤x≤4 cx+d 解(1)由y=ln(x+2)+1,知y∈R,且x=e1-2,故反函数为:y=e1-2 反函数的定义域为R
2 (3) ( ) f x 定义域为 R , ( ) ϕ x 定义域为 π { π , } 2 xx k k ≠+ ∈Z , 两函数定义域不同, 故为不同函数. (4) ( ) f x 定义域为[1, ) + ∞ , ( ) ϕ x 定义域为( , 1] [1, ) −∞ − +∞ ∪ , 两函数定义域不 同, 故为不同函数. 3. 已知 ( ) 2 , ( ) ln x f x gx x x = = , 求 f [ ( )], [ ( )], [ ( )], [ ( )] gx g f x f f x g gx . 解 ln [ ( )] 2x x f gx = ; [ ( )] 2 ln 2 (ln 2) 2 x x x g fx x = = ; 2 [ ( )] 2 x f fx = ; g [ ( )] ln ln( ln ) gx x x x x = . 4． 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 2 y x = + cos (1 2 ) ; (2) 2 yx x = ++ ln( 1 ) ; (3) 2 sin e x y = ; (4) 2 y x = arcsin 1 + . 解 (1) 2 y u = , u v = cos , v x =1 2 + . (2) 2 y uu x vv x = ln , , 1 = + =+ . (3) 2 e , , sin u y uvv x === . (4) 2 y uu vv x = arcsin , , 1 = =+ . 5. 求下列函数的反函数及反函数的定义域: (1) ln( 2) 1 y x = ++ ; (2) 2 π cos 2, [0, ] 2 y xx = +∈ ; (3) 2 2 1 x x y = + ; (4) 1 sin ( 0) 1 x y x x − = ≥ + ; (5) ( 0) ax b y ad bc cx d + = −≠ + ; (6) 2 , 1, , 1 4, 2, 4 . x x x yx x x ⎧ − ∞< < ⎪ = ≤≤ ⎨ ⎪ ⎩ < < +∞ 解 (1) 由 y x = ++ ln( 2) 1 , 知 y ∈R , 且 1 e 2 y x − = − , 故反函数为: 1 e 2 x y − = − , 反函数的定义域为 R
(2)由y=cos2x+2,x∈[0,知y∈[2,3],且x=acoy-2,故反函数 为:y= arccos-2,反函数的定义域为[2,3] (3)由y2x+1 知y∈(0.D),且x=log2,,故反函数为:y=log2x,反 函数的定义域为(0,1) (4)∵x 1,故y=sin r+[sinl in n 1+arcsin y 1+acsx,反函数的定义域为 故反函数为:11x [sin l, sinD) (5)当c=0时,易知反函数为ydb x-一,反函数的定义域为R b 当c≠0时,y= b ad-bc≠0,知y≠二,又 -dy+b 故反 cx+d c ctd Cv-a 函数为:y -dx b 反函数的定义域为(,c )U(,+∞) (6)当-∞<x<1时,y=x∈(-∞,1),所以x=y,y∈(-∞,1) 当1≤x≤4时,y 所以x=√y,y∈ 当4<x<+∞时,y=2x∈(16,+∞),故x=log2y,y∈(16,+∞) 0<x< 故反函数为y l≤x≤16 6.讨论下列函数的奇偶性 (1)y=2 (2)y=√1-x+√1+x; 解(1)函数定义域为R,:2(-x)3-(-x)2=-2x3-x2,故函数为非奇非偶函 (2)函数定义域为[-1,∵√-(-x)+√+(-x)=√-x+√1+x,故函数为偶 函数
3 (2) 由 2 π cos 2, [0, ] 2 y xx = +∈ , 知 y ∈[2, 3] , 且 x y = arccos 2 − , 故反函数 为: y x = − arccos 2 , 反函数的定义域为[2, 3] . (3) 由 2 2 1 x x y = + , 知 y ∈(0,1) , 且 2 log 1 y x y = − , 故反函数为: 2 log 1 x y x = − ,反 函数的定义域为(0,1) . (4) 0 ∵ x ≥ , 1 1 1 1 x x − ∴− ≤ < + , 故 1 sin [ sin1, sin1) 1 x y x − = ∈− + , 又 1 arcsin 1 arcsin y x y + = − , 故反函数为: 1 arcsin 1 arcsin x y x + = − , 反函数的定义域为[ sin1, sin1) − . (5) 当c = 0时, 易知反函数为 d b y x a a = − , 反函数的定义域为 R . 当c ≠ 0时, ad b ax b a c y cx d c cx d − + = =+ + + , ad bc − ≠ 0 , 知 a y c ≠ , 又 dy b x cy a − + = − , 故反 函数为: dx b y cx a − + = − , 反函数的定义域为( ,) (, ) a a c c −∞ +∞ ∪ . (6) 当 −∞ < <x 1时, ( ,1) y x = ∈ −∞ , 所以 x = y , ( ,1) y ∈ −∞ ; 当1 4 ≤ ≤x 时, 2 y x = ∈[1,16], 所以 x = y , [1,16] y ∈ ; 当 4 < < +∞ x 时, 2 (16, ) x y = ∈ +∞ , 故 2 x = log y , (16, ) y ∈ + ∞ . 故反函数为 2 , 1, , 1 16, log , 16 . x x yx x x x ⎧ −∞< < ⎪ = ≤≤ ⎨ ⎪ < < +∞ ⎩ 6. 讨论下列函数的奇偶性: (1) 3 2 y xx = − 2 ; (2) yxx = 1 1 −+ + ; (3) 1 y xsin x = ; (4) 2 2 e e sin x x y x − =− + . 解 (1) 函数定义域为 R , 3 2 32 ∵2( ) ( ) 2 −x − − =− − x xx , 故函数为非奇非偶函 数. (2) 函数定义域为[ 1,1] − , ∵ 1( ) 1( ) 1 1 − − + +− = − + + x x xx , 故函数为偶 函数
(3)函数定义域为(-∞,0)U(0,+∞),∵(-x)sin=xsin-,故函数为偶函 (-x) 数 (4)函数定义域为R,∵e-2n)-e1-2)+sin(-x)=-(e2x-e-2x+sinx),故函数 为奇函数 7.证明 (1)两个偶函数之和是偶函数,两个奇函数之和是奇函数 (2)两个偶函数之积是偶函数,两个奇函数之积是偶函数,偶函数与奇函数之 积是奇函数 证(1)设f(x)和g(x)为偶函数,则 f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 故f(x)+g(x)为偶函数 设f(x)和g(x)为奇函数,则 f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x) 故f(x)+g(x)为奇函数 (2)设f(x)和g(x)为偶函数,则 f(-x)·g(-x)=f(x)·g(x), 故f(x)·g(x)为偶函数; 设f(x)和g(x)为奇函数,则 f(-x)·g(-x)=[-f(x)]·[g(x)=f(x)·g(x) 故f(x)·g(x)为偶函数; 设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,则 f(-x)·g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)·g(x) 故f(x)·g(x)为奇函数 8.证明:若对任何x均有f(a+x)=f(a-x)(a为常数,则f(x)关于x=a对 称 证设点P(x,y)是函数y=f(x)图像上任一点,由 f(x)=f(a+(x-a)=f(a-(x-a))=f(2a-x)=y 知,点P(2a-x,y)也在函数图像上,而点P(x,y)与点P(2a-x,y)关于x=a对称, 故f(x)关于x=a对称 (1)两个单调递增(递减)的函数之和是单调递增(递减)的 (2)两个单调递增(递减)的正值函数之积是单调递增(递减)的; 证(1)设f(x),g(x)为单调递增函数,则x,x2,x>x2,有 f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 故∫(x)+g(x)是单调递增函数.即两个单调递增函数之和是单调递增的,类似可证
4 (3) 函数定义域为 ( , 0) (0, ) −∞ + ∞ ∪ , 1 1 ( )sin sin ( ) x x x x − = − ∵ , 故函数为偶函 数. (4) 函数定义域为 R , (2) (2) 2 2 e e sin( ) (e e sin ) x x xx x x − −− − ∵ − + − =− − + , 故函数 为奇函数. 7. 证明: (1) 两个偶函数之和是偶函数, 两个奇函数之和是奇函数; (2) 两个偶函数之积是偶函数, 两个奇函数之积是偶函数, 偶函数与奇函数之 积是奇函数. 证 (1) 设 f ( ) x 和 g( ) x 为偶函数, 则 f ( ) ( ) () () −x g x f x gx +−= + , 故 f ( ) x +g( ) x 为偶函数; 设 f ( ) x 和 g( ) x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] − + − =− − =− + x g x f x gx f x gx , 故 f ( ) x +g( ) x 为奇函数. (2) 设 f ( ) x 和 g( ) x 为偶函数, 则 f ( ) ( ) () () −x g x f x gx ⋅−= ⋅ , 故 f () () x gx ⋅ 为偶函数; 设 f ( ) x 和 g( ) x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) − ⋅ − =− ⋅− = ⋅ x g x f x gx f x gx , 故 f () () x gx ⋅ 为偶函数; 设 f ( ) x 为偶函数, () g x 为奇函数, 则 f ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) − ⋅ − = ⋅ − =− ⋅ x g x f x gx f x gx , 故 f () () x gx ⋅ 为奇函数. 8. 证明: 若对任何 x 均有 f ( )( ) a x fa x + = − ( a 为常数), 则 f ( ) x 关于 x = a 对 称. 证 设点 P(, ) x y 是函数 y fx = ( ) 图像上任一点, 由 f ( ) ( ( )) x fa x a = +− = f ( ( )) a xa − − = f (2 ) ax y − = , 知, 点 P′(2 , ) a xy − 也在函数图像上, 而点 P(, ) x y 与点 P′(2 , ) a xy − 关于 x = a 对称, 故 f ( ) x 关于 x = a 对称. 9. 证明: (1) 两个单调递增(递减)的函数之和是单调递增(递减)的; (2) 两个单调递增(递减)的正值函数之积是单调递增(递减)的; 证 (1) 设 f ( ), ( ) x gx 为单调递增函数, 则 1 2 ∀ x , x , 1 2 x > x ,有 11 2 2 f () () ( ) ( ) x gx f x gx +> + , 故 f () () x gx + 是单调递增函数. 即两个单调递增函数之和是单调递增的, 类似可证
两个单调递减函数之和是单调递减的 (2)设∫(x),g(x)为单调递增的正值函数,则x1,x2,x>x2,有 f(x1)>f(x2)>0,g(x1)>g(x2)>0 故∫(x1)·g(x1)>f(x2)g(x2),所以f(x)·g(x)是单调递增函数.即两个单调递增正 值函数之积是单调递增的,类似可证两个单调递减正值函数之积是单调递减的 10.下列函数中,哪些是周期函数?如果是,则求其最小正周期 V=sin x (3) y=cos- x (4)y=sin(ox+)(O≠0) cOS (1)y= 255C0s2x-,故为周期函数,最小正周期为兀 (2)非周期函数 (3)y=cos"r=O$2x+11 =cos2x+,故为周期函数,最小正周期为π (4)是周期函数,最小正周期为 1l.利用y=sinx的图形,作下列函数的图形: V=sinx (4)y=3s 解(1)如图1.1(a) (2)如图1.1(b) (3)如图1.1(c) (4)如图1.1(d) 图1.1(b)
5 两个单调递减函数之和是单调递减的. (2) 设 f ( ), ( ) x gx 为单调递增的正值函数, 则 1 2 ∀ x , x , 1 2 x > x , 有 1 2 fx fx () () 0 > > , 1 2 gx gx () ( ) 0 > > , 故 11 2 2 f () () () () x gx f x gx ⋅> ⋅ , 所以 f () () x gx ⋅ 是单调递增函数. 即两个单调递增正 值函数之积是单调递增的, 类似可证两个单调递减正值函数之积是单调递减的; 10. 下列函数中, 哪些是周期函数? 如果是, 则求其最小正周期. (1) 2 y x = sin ; (2) cos yx x = ; (3) 2 y x = cos ; (4) π sin( ) ( 0) 3 y x = ω ω + ≠ . 解 (1) 2 cos 2 1 1 1 sin cos 2 22 2 x yx x − = = =− , 故为周期函数, 最小正周期为 π . (2) 非周期函数. (3) 2 cos 2 1 1 1 cos cos 2 22 2 x yx x + == = + , 故为周期函数, 最小正周期为 π . (4) 是周期函数, 最小正周期为 2π ω . 11. 利用 y x = sin 的图形, 作下列函数的图形: (1) y x = sin ; (2) 1 sin 2 y x = ; (3) sin 2 y x = ; (4) π 3sin(2 ) 2 y x = + . 解 (1) 如图 1.1(a). (2) 如图 1.1(b). (3) 如图 1.1(c). (4) 如图 1.1(d). O 1 y x 图 1.1(a) O x 1 2 y 图 1.1(b)
O 图1.1(c) 图1.1(d) 12.作下列函数的图形 (3 y=sgn(sinx 如图1.2( (2)如图12(b) (3)如图1.2(c) 图12(a) 图1.2(b) 图1.2(c)
6 12. 作下列函数的图形: (1) 2 y x = −1 ; (2) y x = ln(1 ) − ; (3) sgn(sin ) y x = . 解 (1) 如图 1.2(a). (2) 如图 1.2(b). (3) 如图 1.2(c). x O 1 −2π 2π y 图 1.1(c) O y 7π 4 9π 4 − π 4 − 3 x 图 1.1(d) 1 y O x 图 1.2(b) y O x 1 −2π −π 2π −1 π 图 1.2(c) 1 1 −1 y O x 图 1.2(a)
13.(1)设f()=√1+x2(x>0),求f(x) (2)设∫(sin3)=1+c0sx,求f(cosx) 解(1)由f(-)=Ⅵh+x2,知f(x)=+ (2)f(sin)=1+cos x=2-2sin,: . f(x)=2-2x2, t f(cos x)=2-2cos" x=2sin'x 14.设∫(x)=8gnx={0.|=1及g(x)=e,求/[g(x)和gU(x)],并作出 两个函数的图形 解当x0时,g(x 0, e2<1.故fg(x={0,x=0,同样易得g(x={1,1=1 e 图形见图1.3(a)和1.3(b) 图1.3(a) 图1.3(b) 15.证明 (1)shr+ shy= 2sh x+yx-y (2) shrchy=-Ish(x +y+sh(x-y)I x+y x+y x-y x-y x+ybx-) e- +e
7 13. (1) 设 1 2 f xx ( ) 1 ( 0) x =+ > , 求 f ( ) x ; (2) 设 (sin ) 1 cos 2 x f = + x , 求 f (cos ) x . 解 (1) 由 1 2 f () 1 x x = + , 知 1 1 2 2 f () 1 ( ) 1 x x x x = + =+ . (2) 2 (sin ) 1 cos 2 2sin 2 2 x x f x =+ = − , ∴ 2 f () 2 2 x x = − , 故 f (cos ) x 2 = − 2 2cos x 2 = 2sin x . 14. 设 1, 1, ( ) sgn 0, 1, 1, 1 x fx x x x ⎧ ⎩ 及 () ex g x = , 求 f [ ( )] g x 和 g [ ( )] f x , 并作出 两个函数的图形. 解 当 x 0 时, g( ) x e 1 x = 同样易得 g[ ( )] f x e, 1, 1, 1, 1 , 1. e x x x ⎧ ⎪ ⎪⎩ 图形见图 1.3(a)和 1.3(b). 15. 证明: (1) sh sh 2sh ch 2 2 x y xy x y + − + = ; (2) 1 sh ch [sh( ) sh( )] 2 x y xy xy = ++ − . 证 (1) 2 22 2 ee ee 2sh ch 2 22 2 2 x y xy xy xy xy xy + +− − − − +− − + =⋅ ⋅ O 1 −1 x 图 1.3(a) y −1 O 1 x 1 e 1 e 图 1.3(b) y
-x+e 2 故结论得证 (2)[sh(x+y)+sh(x-y)F e-e e+e 结论得证
8 ee ee ee ee sh sh 2 22 x x y y x xy y x y − − −− − +− − − = = ⋅ =+ , 故结论得证. (2) () () 1 1e e e e [sh( ) sh( )]= [ ] 2 22 2 x y xy xy xy xy xy + −+ − −− − − ++ − + eeee sh ch 2 2 x xy y x y − − − + =⋅= , 结论得证