第一章总习题 1.填空题: (1)设f(x)=/,x≤0,则∫(-1)= cosx. x>0 1, csl-x),|0,且-1≤≤1得,函数定义域为[-3,0)儿∪(2,3] (4)略 2.下列四个命题中正确的是(B) (A)有界数列必定收敛 无界数列必定发散; C)发散数列必定无界; (D)单调数列必有极限 解略 3.设Imxn=+∞,lmyn=y(y≠0),求 limx sin y A? lim x, sin n= lim-n. y,=y 4.求下列极限: (1) lim sin.x-sina (2) lim(x+x-1
1 第一章总习题 1. 填空题: (1) 设 e , 0, ( ) cos , 0, x x f x x x − ⎧⎪ ≤ = ⎨ ⎪⎩ > 则 f ( 1) e − = , 2 1 2 2 e , 1, (1 ) cos(1 ), 1; x x f x x x ⎧ − ⎪ ≥ − = ⎨ ⎪ − − , 且 1 1 3 x −≤ ≤ 得, 函数定义域为[ 3, 0) (2,3] − ∪ . (3) 略. (4) 略. 2. 下列四个命题中正确的是( B ). (A) 有界数列必定收敛; (B) 无界数列必定发散; (C) 发散数列必定无界; (D) 单调数列必有极限. 解 略. 3. 设 lim n n x →∞ = +∞ , lim ( 0) n n y yy →∞ = ≠ , 求 lim sin n n n n y x →∞ x . 解 sin lim sin lim n n n n n n n n n n y y x x y y x y x →∞ →∞ = ⋅= . 4. 求下列极限: (1) sin sin lim ; x a x a → x a − − (2) 2 2 lim ( 1 2 3) x xx x x →+∞ + −− − + ;
(3) lim( (4) lim (5) lim(1+3tan'x) (7)lim(+a(1+a2)…(+a)lk时 0<=(12kk+1k+2y=2y 由于m(2:0,由夹遥准则,〃O 7)lim(1+a+a2)…(+a2")=lim n(1-a)(1+a)1+a2)…(1+a2) im(-a-)=
2 (3) 1 1 2 1 1 lim( ) 1 x x x x x − − → − − ; (4) 2 0 1 sin 1 lim e 1 x x x x → + − − ; (5) 2 2 cot 0 lim(1 3tan ) x x x → + ; (6) lim ( 0) ! n n c c →∞ n > ; (7) 2 2 lim (1 )(1 ) (1 ), 1 n n a a aa →∞ + ++ 时, 1 (2 ) 0 ( )( ) ( ) ! 12 1 2 2 2 n k k nk n c cc c c c c c c n kk k n − < =⋅ ⋅ <⋅ = + + " " , 由于 (2 ) lim 0 2 k n n c →∞ = , 由夹逼准则, 故 lim 0 ! n n c →∞ n = . (7) 22 22 1 lim (1 )(1 ) (1 ) lim (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 n n n n aa a aaa a →∞ →∞ a ++ + = −++ + − " " 1 1 1 2 lim(1 ) 1 1 n n a a a + →∞ = −= − −
(8)1im(1+5+…+n)=lim1-1)+(11.4(n+1) 12 →, m+y)=1 5.已知当x→0时,(+ax2)3-1与cosx-1为等价无穷小,求数a 解由已知,lim =--a=1.,故a=- 6.确定常数a及b的值,使下列极限等式成立 (1)lim(—) x→x-a 解()m(+2a=im(1+)2=lim(+3 ===她m= 所以a=ln2 (2) lim( -ax-b)=lim (x-x+1)-(ax+b)2 x→√x2-x+1+ax+b =0,故必有a2=1,且 x→ x2=x+1+ax+b 2ab)x+(1-b2)-(+2ab) √x2-x+1+ax+b 故a=1,b n(1+ 7.已知 sinx=3,求im(x f(x) 解因为lim(2x-1)=0,lim 3=3,故必有mh、=0 因为2-1-1m2x,m1+(x)-(x),所以 sIn x
3 (8) 12 11 11 1 1 lim ( ) lim[( ) ( ) ( )] n n 2! 3! ( 1)! 1! 2! 2! 3! ! ( 1)! n →∞ →∞ n nn +++ = − + − + − + + " " 1 1 lim ( ) 1 n→∞ 1! ( 1)! n =− = + . 5. 已知当 x → 0时, 1 2 3 (1 ) 1 + − ax 与cos 1 x − 为等价无穷小, 求数 a . 解 由已知, 1 2 2 3 0 0 2 1 (1 ) 1 2 3 lim lim 1 cos 1 3 1 2 x x ax ax a x x → → + − = =− = − − , 故 3 2 a = − . 6. 确定常数 a 及b 的值, 使下列极限等式成立. (1) 2 lim ( ) 8 x x x a →∞ x a + = − ; (2) 2 lim ( 1 ) 0 x x x ax b →∞ − +− − = . 解 (1) 3 3 lim 23 3 3 3 lim ( ) lim (1 ) lim (1 ) e e 8 x x a ax ax xx a a xa xa xx x xa a a xa xa xa →∞ − ⋅ − − →∞ →∞ →∞ + = + = + = == − −− , 所以 a = ln 2 . (2) 2 2 2 2 ( 1) ( ) lim ( 1 ) lim 1 x x x x ax b x x ax b x x ax b →∞ →∞ −+ − + −+− − = −++ + 22 2 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) lim 1 x a x ab x b x x ax b →∞ − −+ +− = −++ + = 0 , 故必有 2 a =1, 且 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (1 2 ) lim ( 1 ) lim 0 1 1 x x ab x b ab x x ax b a x x ax b →+∞ →+∞ −+ + − −+ −+− − = = = + −++ + , 故 a =1, 1 2 b = − . 7. 已知 0 ( ) ln(1 ) sin lim 3 2 1 x x f x x → + = − , 求 2 0 ( ) lim x f x → x . 解 因为 0 lim(2 1) 0 x x→ − = , 0 ( ) ln(1 ) sin lim 3 2 1 x x f x x → + = − , 故必有 0 ( ) lim ln(1 ) 0 x sin f x → x + = , 因为 2 1 ln 2 x − ⋅ ∼ x , () () ln(1 ) sin sin f x fx x x + ∼ , 所以
f(x lir Sinx= lim sin x→0ln2 故lmf(x)=3mn2 x→0 8.写出下列函数的连续区间与间断点,并指出间断点的类型 (1)f(x)= (2)f(x) n 解(1)易知连续区间为(-∞,1)∪(1,+∞),因为 lim -er-= lim(x+D)e-l=+oo, lim x→x-1 r-l= lim(x+D)e -=0 故x=1是第二类间断点 (2)当0e时,f(x)=me+x)mnx+(sy lim[Inx+ n→ 月→① 即x)=1.0x56在x=处,1m1)=me=1,m/(x2=1 故f(x)在x=e处连续,故函数连续区间为(0,+∞ 0 9.设f(x)=/2 要使f(x)在(-∞,+∞)内连续,应如何选择 0, 数a?
4 2 0 000 () () ln(1 ) 1 () 1 () sin sin lim lim lim lim 3 2 1 ln 2 ln 2 sin ln 2 x x xxx fx fx fx fx x x → →→→ x xx x + == = = − ⋅ , 故 2 0 ( ) lim 3ln 2 x f x → x = . 8. 写出下列函数的连续区间与间断点, 并指出间断点的类型: (1) 2 1 1 1 () e 1 x x f x x − − = − ; (2) ln(e ) ( ) lim ( 0) n n n x fx x →∞ n + = > . 解 (1) 易知连续区间为( ,1) (1, ) −∞ +∞ ∪ , 因为 2 1 1 1 1 1 1 1 lim e lim ( 1)e 1 x x x x x x x + + − − → → − = + = +∞ − , 2 1 1 1 1 1 1 1 lim e lim ( 1)e 0 1 x x x x x x x − − − − → → − = + = − , 故 x =1是第二类间断点. (2) 当0 e e时, e ln[ (1 ( ) ] ln(e ) ( ) lim lim n n n n n n x x x f x →∞ →∞ n n + + = = e ln(1 ( ) ) lim[ln ] n n x x →∞ n + = + e ( ) lim[ln ] ln n n x x x →∞ n = += . 即 1, 0 e, ( ) ln , e, x f x x x ⎧ 在 x = e处, lim ( ) ln e 1 x e f x → + = = , lim ( ) 1 x e f x → − = , 故 f ( ) x 在 x = e处连续, 故函数连续区间为(0, ) + ∞ . 9. 设 cos , 0, 2 ( ) , 0, x x x f x a ax x x ⎧ ≥ ⎪ ⎪ + = ⎨ ⎪ − − < ⎪⎩ 要使 f ( ) x 在 (, ) −∞ +∞ 内连续, 应如何选择 数 a ?
解易知函数在(-∞,0)∪(0,+∞)上连续,要是函数在x=0处也连续,则 lim f(x)= lim = lim x→0x( 2=/(k 10.设常数a>0,b>0,证明方程x= asin x+b至少有一个正根,并且它不超 过a+b 证令函数f(x)=(x-b)- asin,f(0)=(0-b)-asin0=-b0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使 得f(5)=0,即为原方程的根,它是正根且不超过a+b 当sin(a+b)=1时,f(a+b)=0,则a+b是原方程的正根,且不超过a+b 11.设函数f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,2a]上至少存 在一点5,使f(5)=f(2+a) 证构造函数F(x)=f(x)-f(x+a),则F(x)在[0,a]上连续,且 F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) 若f(0)=f(a),则ξ=0即是满足∫(5)=∫(2+a)的点; 若f(0)≠f(a),则必有F(0)与F(a)异号,故由零点定理,至少存在一点 ∈(0,a),使得F(5)=0,即f()=f(2+a) 综上,至少存在一点ξ∈[0,a]c10,2a],使∫(5)=f(2+a) 12.设4,2,…,是n个正数,并且它们的和等于1,证明:如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,那么对于区间[ab]上的任意n个点x1x2,…,xn,至少有一点 5∈[a,b],使得 f(5)=∑4f(xk) 证因为∫(x)在[anb]上连续,故存在最大最小值,不妨设 M=max{f(x)x∈a,bl},m=min{f(x)kx∈b] ∑4m≤∑入f(x)∑入M=M 由介值定理,至少存在一点5∈[a,b,使得∫(5)=∑f(x)
5 解 易知函数在( , 0) (0, ) −∞ + ∞ ∪ 上连续, 要是函数在 x = 0 处也连续, 则 00 0 0 1 lim ( ) lim lim lim ( ) xx x x a ax x f x x x a ax a ax →→ → → −− − − − − == = + − +− 1 1 (0) 2 2 f a = = = , 故 a =1. 10. 设常数 a > 0 , 0 b > , 证明方程 x = a xb sin + 至少有一个正根, 并且它不超 过 a b + . 证 令函数 f ( ) ( ) sin x xb a x =−− , (0) (0 ) sin 0 0 f ba b = − − =− , 由零点定理, 至少存在一点ξ ∈(0, ) a b + , 使 得 f () 0 ξ = , 即ξ 为原方程的根, 它是正根且不超过 a b + ; 当sin( ) 1 a b + = 时, ( ) 0 fa b + = , 则 a b + 是原方程的正根, 且不超过 a b + . 11. 设函数 f ( ) x 在[0, 2 ] a 上连续, 且 f (0) (2 ) = f a , 证明: 在[0, 2 ] a 上至少存 在一点ξ , 使 f () ( ) ξ = + f a ξ . 证 构造函数 Fx f x f x a () () ( ) = −+ , 则 F x( )在[0, ] a 上连续, 且 F f fa (0) (0) ( ) = − , ( ) ( ) (2 ) ( ) (0) Fa f a f a f a f = − =− , 若 f (0) ( ) = f a , 则ξ = 0即是满足 f () ( ) ξ = f a ξ + 的点； 若 f (0) ( ) ≠ f a , 则必有 F(0) 与 F a( ) 异号, 故由零点定理, 至少存在一点 ξ ∈(0, ) a , 使得 F() 0 ξ = , 即 f () ( ) ξ = f a ξ + . 综上, 至少存在一点ξ ∈ ⊂ [0, ] [0, 2 ] a a , 使 f () ( ) ξ = f a ξ + . 12. 设 1 2 ,,, λ λ λ " n 是 n 个正数, 并且它们的和等于1 , 证明: 如果函数 f ( ) x 在 闭区间[, ] a b 上连续, 那么对于区间[, ] a b 上的任意 n 个点 1 2 ,,, n x x x " , 至少有一点 ξ ∈[, ] a b , 使得 1 () ( ) n k k k f ξ λ f x = = ∑ . 证 因为 f ( ) x 在[, ] a b 上连续, 故存在最大最小值, 不妨设 M = ∈ max{ ( ) [ , ]} f x x ab , m f x x ab = ∈ min{ ( ) [ , ]} , 则 11 1 ( ) nn n k kk k kk k m m fx M M λλ λ == = =≤ ≤ = ∑∑ ∑ , 由介值定理, 至少存在一点ξ ∈[, ] a b , 使得 1 () ( ) n k k k f ξ λ f x = = ∑