第二章总习题 1.填空题 (1)已知f(3)=2,则Im(3-x)-f(3) (2)设∫(x)=lnx,则f()=1,Df(1)=0 5 (3)设f(x)=lm(x+√1+x2),则y"=5=32 (4)f(x)在x处可导是∫(x)在x处连续的充分条件,是f(x)在x处可 微的_充要_条件 (5)设方程x=y确定y是x的函数,则dy= x(1+In y) (6)曲线y=x+sin2x在点,1+)处的切线方程是y=x+1 ()曲线=m2在点0D处的法线方程为2x+y=1=0 (8)设f(x)= 3,x≤0, lax+b, x>0 在定义域内处处可微,则a=2,b 解(1)m(3=3)-1(=im-13-x)-18)=-1r(3)=-1 ()r(=f(x-=-=1,Ur=0 (3)f(x) f"(x)=--(1+x2)
1 第二章总习题 1. 填空题 (1) 已知 f ′(3) 2 = , 则 0 (3 ) (3) lim x 2 f xf → x − − = −1 . (2) 设 f ( ) ln x x = , 则 f ′(1) 1 = , [ (1)] f ′ = 0 . (3) 设 2 f ( ) ln( 1 ) xx x = ++ , 则 x 3 y = ′′′ = 5 32 . (4) ( ) f x 在 0x 处可导是 f ( ) x 在 0x 处连续的 充分 条件, 是 f ( ) x 在 0x 处可 微的 充要 条件. (5) 设方程 y x = y 确定 y 是 x 的函数, 则dy = d (1 ln ) x x y + . (6) 曲线 2 yx x = + sin 在点 π π ( ,1 ) 2 2 + 处的切线方程是 y x = +1 . (7) 曲线 e sin 2 , e cos t t x t y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = 在点(0,1) 处的法线方程为 2 10 x y + − = . (8) 设 2 2 3, 0, ( ) , 0, xx x f x ax b x ⎧⎪ ++ ≤ = ⎨ ⎪⎩ + > 在定义域内处处可微, 则 a = 2 , b = 3 . 解 (1) 0 0 (3 ) (3) 1 (3 ) (3) 1 lim lim (3) 1 x x 22 2 f xf f xf f → → x x −− −− = − =− =− ′ − . (2) 1 1 1 (1) ( ) 1 x x f fx x = = ′ ′ = = = , [ (1)] 0 f ′ = . (3) 1 2 2 2 22 1 21 ( ) (1 ) (1 ) 1 21 1 x fx x xx x x − ′ = + = =+ ++ + + , 3 3 2 2 2 2 1 ( ) (1 ) 2 (1 ) 2 fx x x x x − − ′′ =− + =− +
f"(x)=-(1+x2)2+1x(1+x2) (1+x2)2+3 3x2(1+x2) (4)根据有关概念可知 (5)对方程x=y=e两边求微分,得 dx=e/y(In y+l)dy x(In y+ l)dy, dy x(1+In y) (6)y=1+2 sinx cosx=l+sin2x,y1-x=1.故而曲线y=x+sin2x在点 ,1+2)处的切线方程是 即 (7)点01)对应的参数为/=0,= cOSt-esin|1 =,曲线 dx x=e sin 2t 在点(0,1)处的法线方程为 y-1=-2x,即2x+y-1=0 (8)由∫(x)在x=0处可微,可知 f(0+0)=b=f(0)=3 f(0)=lin f(x)-f(0) lim 2 f(0)= f(x)-f(o) ax+3-3 a x→0° f(0)=a=∫(0)=2 2.单项选择题 (1)函数f(x)在x=x的左导数与右导数存在且相等,是f(x)在x=x处连续 的(B) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
2 35 3 5 2 2 2 22 22 2 2 3 ( ) (1 ) (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 2 fx x x x x x x x −− − − ′′′ =− + + + =− + + + , 3 5 2 22 2 2 3 3 5 ( ) (1 ) 3 (1 ) 32 x x fx x x x − − = = ′′′ =− + + + = . (4) 根据有关概念可知. (5) 对方程 ln e y yy x y = = 两边求微分, 得 ln d d e (ln 1)d (ln 1)d , d (1 ln ) y y x x y yx y y y x y = += + = + . (6) π 2 1 2sin cos 1 sin 2 , 1. x y x x xy = ′ ′ =+ =+ = 故而曲线 2 yx x = + sin 在 点 π π ( ,1 ) 2 2 + 处的切线方程是 π π 1 2 2 y x −− = − , 即 y x = +1. (7) 点 (0,1) 对应的参数为 t = 0 , 0 0 d e cos e sin 1 d 2 e sin 2 2e cos 2 t t t t x t y tt x t t = = − = = + , 曲线 e sin 2 , e cos 2 t t x t y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = 在点(0,1) 处的法线方程为 y x − =− 1 2 , 即 2 10 x y + − = . (8) 由 f ( ) x 在 x = 0 处可微, 可知 f bf (0 0) (0) 3 + == = , 2 0 0 ( ) (0) 2 (0) lim lim 2 x x fx f x x f x x − → → − − − + = == , 0 0 ( ) (0) 3 3 (0) lim lim x x f x f ax f a x x + → → + + − + − = == , f af (0) (0) 2 + − = = = . 2. 单项选择题 (1) 函数 f ( ) x 在 0 x = x 的左导数与右导数存在且相等, 是 f ( ) x 在 0 x = x 处连续 的( B ) . (A) 必要非充分条件; (B) 充分非必要条件;
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件,又非必要条件 设∫(x)对于任意x的都有 f(x),且∫(-x)=-k,则 f(x0)=(B) 1 k (3)曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点是(C) (A)(0,0);(B)(1,2);(C)(-1,2);(D)(0,2) (4)设(x)为可导函数,且满足Im1(0)-1(=3)=-1,则曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为(D) (A)2 (5)设函数f(x)在区间(-6,6)内有定义,若当x∈(-8,8)时,恒有|(x)≤x2 则x=0必是f(x)的(C) (A)间断点 (B)连续而不可导点 (C)可导,且f()=0; (D)可导点,且f(O)≠0 (6)设函数f(x) 则函数在x=1处(A) 1, (A)不连续 (B)连续但不可导 C)可导,但导函数不连续 (D)可导且导函数连续 (7)设f(x)= 且∫"(0)存在,则(C) ax2+bx+c,x≥0 ,b=c=1 (8)设f(x)在x=a的某邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条 件是(D) (A)mM八(0-f(l)在;)om(a+2h)-f(a+h) 存在 f(a+h)-f(a-h) 存在; D) lim f(a)-f(a-h) h 存在 h
3 (C) 充分必要条件; (D) 既非充分条件, 又非必要条件. (2) 设 f ( ) x 对于任意 x 的都有 f ( ) () −x fx = − , 且 0 f ′( ) −x k = − , 则 0 f x ′( ) (B) = . (A) k ; (B) −k ; (C) 1 k − ; (D) 1 k . (3) 曲线 3 yx x = − 3 上切线平行于 x 轴的点是( C ) . (A) (0,0) ; (B) (1,2) ; (C) ( 1,2) − ; (D) (0,2) . (4) 设 f ( ) x 为可导函数, 且满足 0 (1) (1 ) lim 1 x 2 f fx → x − − = − , 则曲线 y fx = ( ) 在点 (1, (1)) f 处的切线的斜率为( D ) . (A) 2 ; (B) 1− ; (C) 1 2 ; (D) 2− . (5) 设函数 f ( ) x 在区间( ,) −δ δ 内有定义, 若当 x∈( ,) −δ δ 时, 恒有 2 f ( ) x x ≤ , 则 x = 0 必是 f ( ) x 的( C ) . (A) 间断点; (B) 连续而不可导点; (C) 可导, 且 f ′(0) 0 = ; (D) 可导点, 且 f ′(0) 0 ≠ . (6) 设函数 2 1 , 1, ( ) 1 2, 1, x x f x x x ⎧ − ⎪ ≠ = ⎨ − ⎪ ⎩ = 则函数在 x =1处( A ) . (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导, 但导函数不连续; (D) 可导且导函数连续. (7) 设 2 e , 0, ( ) , 0, x x f x ax bx c x ⎪ ⎧ < = ⎨ ⎪⎩ ++ ≥ 且 f ′′(0)存在, 则( C ) . (A) 1 , 1, 1 2 a bc = = =− ; (B) 1 , 1 2 a bc = − == ; (C) 1 , 1 2 a bc = == ; (D) 1 , 1, 1 2 a bc = − =− = . (8) 设 f ( ) x 在 x = a 的某邻域内有定义, 则 f ( ) x 在 x = a 处可导的一个充分条 件是( D ) . (A) 1 lim [ ( ) ( )] x hf a fa →+∞ h + − 存在; (B) 0 ( 2) ( ) lim h f a h fa h → h + − + 存在; (C) 0 ( )( ) lim h 2 f a h fa h → h +− − 存在; (D) 0 () ( ) lim h f a fa h → h − − 存在
解(1)根据有关概念与定理,应选B (2)方程f(-x)=-f(x)两边对x求导,得 f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x) 所以f(x0)=f(-x)=-k,故应选B (3)由题意知,在切点处y=3x2-3=0,从而x=±1,切点为(1,-2)或(-1,2), 故应选C (4)f=lmm-x)-f02m2)-/-x)=2,故应选D 2. (5)0≤|(x)≤x2,所以f(O)=0,由夹逼准则知,lmf(x)=0,故而f(x)在 x=0处连续.由于 0s(x)-f0 由夹逼准则知,f(O)=m(x)-f0)=0,故应选C 60m+0=lmx2-1=2, x→1x-1 所以f(x)在x=1处不连续,故应选A (7)由题意知,f(x)在x=0处连续,有 c=f(0)=f(0-0)=1 ∫(0)=linf(x)-1(0)1c-1=s f(O= lim f(x)-f(o)= lim+bx+1-=b 由于∫"0)存在,所以∫(O)=(0),从而b=1 f(x)= 2ax+1,x>0 2ax+1-1 A(0)=lim
4 解 (1) 根据有关概念与定理, 应选 B. (2) 方程 f ( ) () − =− x fx 两边对 x 求导, 得 − − =− f ′ ′ ( ) () x fx , 即 f ′( ) () −x fx = ′ , 所以 0 0 f ′ ′ () ( ) x fx k = − =− , 故应选 B. (3) 由题意知, 在切点处 2 y x ′ = 3 30 − = , 从而 x = ±1 , 切点为(1, 2) − 或( 1, 2) − , 故应选 C. (4) 0 0 (1 ) (1) (1) (1 ) (1) lim 2 lim 2 x x 2 f xf f f x f → → x x −− − − ′ = = =− − , 故应选 D. (5) 2 0 () ≤ ≤ f x x , 所以 f (0) 0 = , 由夹逼准则知, 0 lim ( ) 0 x f x → = , 故而 f ( ) x 在 x = 0 处连续. 由于 2 ( ) (0) ( ) 0 0 fx f fx x x x xx − ≤ = ≤= − , 由夹逼准则知, 0 ( ) (0) (0) lim 0 x 0 fx f f → x − ′ = = − , 故应选 C. (6) 2 1 1 (1 0) lim 2 x 1 x f x → + − += = − , 2 1 ( 1) (1 0) lim 2 x 1 x f x → − − − − = =− − , 所以 f ( ) x 在 x =1处不连续, 故应选 A. (7) 由题意知, ( ) f x 在 x = 0 处连续, 有 cf f = (0) (0 0) 1 = −= , 0 00 ( ) (0) e 1 (0) lim lim lim 1 0 x x xx fx f x f x xx − → →→ − −− − − ′ = = == − , 2 0 0 ( ) (0) 1 1 (0) lim lim x x 0 f x f ax bx f b x x + → → + + − + +− ′ == = − , 由于 f ′′(0)存在, 所以 f f (0) (0) + − ′ ′ = , 从而b =1 . e , 0, ( ) 2 1, 0, x x f x ax x ⎧⎪ ≤ ′ = ⎨ ⎪⎩ + > 0 0 e 1 (0) lim lim 1 x x x x f x x − → → − − − ′′ = = = , 0 2 11 (0) lim 2 x ax f a x + → + + − ′′ = =
由于f()存在,因而∫0)=/0),得a1,故应选C (8)由于f(a)=lim f(a-h)-f(a) f(a)-f(a 故应选D 3.设f(x)和g(x)是在(-∞,+∞)上有定义的函数,且具有如下性质 (1) f(x+y=f(x)(y)+f()g(x) (2)f(x)和g(x)在点x=0处可导,且已知f(0)=0,g(0)=1 证明:f(x)在(-∞,+∞)上可导 证对于任意的x∈(-∞,+∞), f(x)slim f(x+h)-f()== lim(x)g(h)+/(h)g(x)-f(r) h f(x[g(h)-g(0)]+/(h)g(x)-f(0)8(x) imf(x)g'(0)+g(x)f(0) 所以f(x)在(-∞,+∞)上可导 4.设f(x) 求∫(x 解(1)x>a时,f(x)=(2x-a)= (2)x<a时,f(x)=(2a-)=-2ln2 x=a ∫(a)=lim +(x-a)ln2-1 =In 2 x→ax-ax→ax-a ∫(a)=l 所以f(x)在x=a处不可导 5.求下列函数的导数 解(1)y
5 由于 f ′′(0)存在, 因而 f f (0) (0) + − ′′ ′′ = , 得 1 2 a = , 故应选 C. (8) 由于 0 0 ( ) () () ( ) ( ) lim lim h h f a h fa fa fa h f a → → h h −− − − ′ = = − , 故应选 D. 3. 设 f ( ) x 和 g( ) x 是在(,) −∞ +∞ 上有定义的函数, 且具有如下性质: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f xgy f ygx += + ; (2) ( ) f x 和 g( ) x 在点 x = 0 处可导, 且已知 f g (0) 0, (0) 1 = = . 证明: ( ) f x 在(,) −∞ +∞ 上可导. 证 对于任意的 x∈ −∞ +∞ (,) , 0 0 ( ) () ()() ()() () ( ) lim lim h h f x h f x f xgh f hgx f x f x → → h h +− + − ′ = = [ ] 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) lim h f x gh g f hgx f gx → h −+ − = 0 lim ( ) (0) ( ) (0) h f xg gx f → = + ′ ′ . 所以 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 上可导. 4. 设 () 2a x f x − = , 求 f ′( ) x . 解 (1) x > a 时, ( ) (2 ) 2 ln 2 xa xa f x − − ′ ′ = = . (2) x < a 时, ( ) (2 ) 2 ln 2 ax ax f x − − ′ ′ = =− . (3) x = a 时, ( )ln 2 2 1 1 1 ( )ln 2 1 ( ) lim lim lim ln 2 xa xa xa xa xa e xa f a xa xa xa ++ + − − + →→ → − − +− − ′ == = = −− − , ( )ln 2 2 1 1 1 ( )ln 2 1 ( ) lim lim lim ln 2 ax ax xa xa xa e ax f a xa xa xa −− − − − − →→ → − − +− − ′ = = = =− −− − . 所以 f ( ) x 在 x = a 处不可导. 5. 求下列函数的导数: (1) 1 tan 1 e sin x y x = ; (2) 2 ln(e 1 e ) x x y = ++ ; (3) 1 2 3 1 5 2 ( 5) ( 4) ( 2) ( 4) x x y x x + − = + + ; (4) 2 3 cos (1 ) x y x = + ; 解 (1) 1 1 tan tan 2 2 2 11 1 11 e sec ( )sin e cos ( ) x x y xx x x x ′ = −+ −
(2)y (3)两边取绝对值后取对数,得 In[y[=2In/x+5+3InAx-41-5In(x+21-3In/x+4 两边对x求导,得 22(x+4) (x+2)(x+4)2 (1+x3) (1+x3 x3 6.设函数p(x)在点x=a处连续,且q(x)≠0,又设f(x)=(x F(x)=|x-a(x).试讨论∫(x)与F(x)在点x=a处的可导性 解f(a)=lin (x)-f(a)(x-a)p(x) a F F(x)-F(a) 若q(a)=0,F(x)在x=a处可导,且F'(a)=0;若(a)≠0,F(x)在x=a处不 可导 设函数y=[(x2),其中f为可微的正值函数,求dy
6 1 1 tan tan 2 2 1 11 1 1 sec tan e cos e x x x x xx x =− − 1 tan 2 1 11 1 (sec tan cos )e x x xx x =− + . (2) 2 2 2 1 2e (e ) e 1 e 21 e x x x x x y′ = + ++ + 2 e 1 e x x = + . (3) 两边取绝对值后取对数, 得 1 1 ln 2ln 5 ln 4 5ln 2 ln 4 3 2 yx x x x = ++ −− +− + , 两边对 x 求导, 得 12 1 5 1 5 3( 4) 2 2( 4) y yx x x x ′ =+ −− + −+ + , 1 2 3 1 5 2 ( 5) ( 4) 2 1 5 1 5 3( 4) 2 2( 4) ( 2) ( 4) x x y x xx x x x + − ⎡ ⎤ ′ = + −− ⎢ ⎥ ⎣ + −+ + ⎦ + + . (4) 2 3 cos ln(1 ) e x x y + ′ ′ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 2 3 2 cos ln(1 ) 2 3 2 3 3 e 2 sin ln(1 ) cos 1 x x x xx x x x + ⎡ ⎤ = − ++ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 2 2 2 3 cos 3 2 3 3 cos (1 ) 2 ln(1 )sin 1 x x x x x xx x ⎡ ⎤ =+ − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + . 6. 设函数 ϕ( ) x 在 点 x = a 处连续 , 且 ϕ() 0 x ≡/ , 又 设 f () ( )() x xa x = − ϕ , Fx x a x () () = − ϕ . 试讨论 f ( ) x 与 F x( )在点 x = a 处的可导性. 解 () () ( )() ( ) lim lim ( ) xa xa fx fa x a x f a a xa xa ϕ ϕ → → − − ′ = == − − , () () ( )() ( ) lim lim ( ) xa xa Fx Fa x a x Fa a xa xa ϕ ϕ + → → + + − − ′ = == − − , () () ( )() ( ) lim lim ( ) xa xa Fx Fa a x x Fa a xa xa ϕ ϕ − → → − − − − ′ = = =− − − . 若ϕ() 0 a = , ( ) F x 在 x = a 处可导, 且 F a′() 0 = ; 若ϕ() 0 a ≠ , ( ) F x 在 x = a 处不 可导. 7. 设函数 1 2 [ ( )]x y fx = , 其中 f 为可微的正值函数, 求dy . 解 由于 1 2 ln ( ) e f x x y =
- Inf(x)+ x f(x) [/x)]2)-m/e2la f(x2) 8求下列函数的n阶导数 (1)y=x2ln(1+x),在x=0处 (2) 解(1)y′=2xln(1+x)+ y"=2ln(1+x)+ (1+x)2 =2ln(1+x)+ +x(1+x) x2()m-)+2mx( +m(n-1)(,) 1+x (-y(m=-1)x2+(-y2mn-2)x+(1)ym(n=1n=3 (-1)m! x(x2-3x+2)+3(x2-3x+2)+7(x-1)+1 y)=(-)8n!(-1y (x-2)(-=(-1)叫 (n≥2) 设函数y=y(x)是由方程e+xy=e所确定,求y(0) 解由方程e+x=c知,y=0=1,方程两边对x求导,得 e y+y+xy=0
7 1 2 2 ln ( ) 2 2 2 1 1 () d e ln ( ) 2 d ( ) f x x f x y fx x x x fx x ⎡ ′ ⎤ = − +⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ln ( ) () d ( ) x f x fx f x x fx x ⎡ ′ ⎤ = − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . 8. 求下列函数的 n 阶导数: (1) 2 yx x = + ln(1 ) , 在 x = 0 处; (2) 3 2 3 2 x x x − + . 解 (1) 2 2 ln(1 ) 1 x yx x x ′ = ++ + , 2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 2ln(1 ) 2ln(1 ) 1 1 (1 ) (1 ) x x xx x x yx x x x x x + − ′′ = ++ + = ++ − + + + + , [] [] [ ] ( ) ( 1) ( 2) () 2 2 2 ( 1) ln(1 ) ( ) ln(1 ) ( ) ln(1 ) 2 n nn n n n y x x nx x x x − − − = ++ + + + ′ ′′ 2 ( 1) ( 2) ( 3) 11 1 ( ) 2 ( ) ( 1)( ) 11 1 nn n x nx n n xx x −− − = + +− ++ + 12 2 3 1 2 ( 1) ( 1)! ( 1) 2 ( 2)! ( 1) ( 1)( 3)! (1 ) (1 ) (1 ) nn n nn n n x nn x nn n xx x −− − − − − − − − − −− =+ + ++ + . 1 ( ) 0 ( 1) !, 3, 2 0, 1,2. n n x n n y n n − = ⎧ − ⎪ ≥ = ⎨ − ⎪ ⎩ = (2) 2 2 ( 3 2) 3( 3 2) 7( 1) 1 ( 1)( 2) xx x x x x y x x − + + − + + −+ = − − 8 1 3 2 1 x x x =++ − − − , 2 2 8 1 1 ( 2) ( 1) y x x ′ =− + − − , ( ) 1 1 ( 1) 8 ! ( 1) ! ( 2) ( 1) n n n n n n n y x x + + − − = − − − 1 1 8 1 ( 1) ! , ( 2) ( 2) ( 1) n n n n n x x + + ⎡ ⎤ = − −≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − . 9. 设函数 y yx = ( ) 是由方程e e y + xy = 所确定, 求 y′′(0) . 解 由方程e e y + = xy 知, 0 1 x y = = , 方程两边对 x 求导, 得 e 0 y y y xy ′ + + =′
将y==1代入,得y 继续对上式两边对x求导,得 e"(y)2+ey"+2y 代入,得y 10.设函数y=yx)是由方程 x=3r2+2+3 所确定的隐函数,求 e sint-y+l=0 解t=0时 从而 =6,方程e'sint-y+1=0两边对t求导,得 从而=e,继续对上式两边对t求导,得 d- y 从而 d'y dr d'x dy dr 2 dt 2e. 2-6e 2e4-3e 4 11.设某商品平均单位成本C/公斤为月产量x公斤的函数 如果每公斤售价p(单位为元)与需求量x满足 x=800-100p 求需求量为250公斤时的边际成本及边际收益 解设需求量为x时,成本为y,收益为二,则有 100 (+2)x=100+2
8 将 0 1 x y = = 代入, 得 0 1 e x y = ′ = − . 继续对上式两边对 x 求导, 得 2 e( ) e 2 0 y y y y y xy ′ + ′′ ′ ′′ ++= , 将 0 1 x y = = , 0 1 e x y = ′ = − 代入, 得 0 2 1 e x y = ′′ = . 10. 设函数 y yx = ( ) 是由方程 2 3 2 3, e sin 1 0, y xt t t y ⎧⎪ = ++ ⎨ ⎪⎩ − + = 所确定的隐函数, 求 2 2 0 d d t y x = . 解 0 t = 时, 3, 1 x = = y . d 6 2 d x t t = + , 2 2 d 6 d x t = , 从而 0 d 2 d t x t = = , 2 2 0 d 6 d t x t = = , 方程e sin 1 0 y t y − + = 两边对t 求导, 得 d d e sin e cos 0 d d y y y y t t t t + − = , 从而 0 d e d t y t = = , 继续对上式两边对t 求导, 得 2 2 2 2 d d dd d (e sin e cos ) e sin e cos e sin 0 dd d d d yy y y y y y yy y t t t tt tt t t t + + + − −= , 从而 2 2 2 0 d 2e d t y t = = , 2 2 2 2 2 2 3 0 dd dd d d d d d d d ( ) d t yx xy y t t t t t x t = − = i i 2 3 2e 2 6e 2 ⋅ − = 2 2e 3e 4 − = . 11. 设某商品平均单位成本C /公斤为月产量 x 公斤的函数 100 C Cx() 2 x = = + . 如果每公斤售价 p (单位为元)与需求量 x 满足 x = 800 100 − p , 求需求量为 250 公斤时的边际成本及边际收益. 解 设需求量为 x 时, 成本为 y , 收益为 z , 则有 100 y xx ( 2) 100 2 x = +=+
800 d 所以需求量为250公斤时的边际成本为2元/公斤,边际收益为3元/公斤 12.甲船以6km/h的速率向东行驶,乙船以&km/h的速率向南行驶.在中午十 二点正,乙船位于甲船之北16km处,问下午一点正两船相离的速率为多少? 解以中午十二点正,甲船所在位置为坐标原点,向东方向为x轴正方向,向南 的方向为y轴的正方向,建立平面直角坐标系.同时以正午十二点作为计量时间的 起点,t时刻甲船位置为(61,0),乙船的位置为(0,-16+8),此时甲乙两船的距离为 √6n2+(8-16)2 2(616+2(8-16)8 dr2、V6n2+(8-162√6n)2+(8-16) 出。一28km 13.求1000的近似值 解函数yx的增量为 L △y=(x+△x)0-x10≈dy=(x10) 在上式中,取x=20,Ax=-24,得 (20)° 14.已知单摆的振动周期T=2x,,其中g=980cm32,l为摆长(单位为cm 设原摆长20cm,为使周期T增大005s,摆长约需加长多少?
9 2 800 8 100 100 x x z px x x − = = =− , 250 250 250 d d 2, 8 3 d d 50 x xx y zx x x = == = =− = . 所以需求量为 250 公斤时的边际成本为 2 元/公斤, 边际收益为 3 元/公斤. 12. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶. 在中午十 二点正, 乙船位于甲船之北16km 处, 问下午一点正两船相离的速率为多少? 解 以中午十二点正, 甲船所在位置为坐标原点, 向东方向为 x 轴正方向, 向南 的方向为 y 轴的正方向, 建立平面直角坐标系. 同时以正午十二点作为计量时间的 起点, t 时刻甲船位置为(6 , 0) t , 乙船的位置为(0, 16 8 ) − + t , 此时甲乙两船的距离为 2 2 stt = +− (6 ) (8 16) , 2 22 2 d 2(6 )6 2(8 16)8 100 128 d 2 (6 ) (8 16) (6 ) (8 16) st t t t tt tt + − − = = +− +− , 1 d 2.8(km/h) d t s t = = − . 13. 求10 1000 的近似值. 解 函数10 x 的增量为 11 1 9 10 10 10 10 1 ( ) d() 10 yx x x yx x x x − Δ = +Δ − ≈ = Δ = Δ ′ , 11 9 10 10 10 1 ( ) 10 x x x xx − + Δ≈+ Δ , 在上式中, 取 10 x x = 2 , 24 Δ =− , 得 10 10 10 10 10 9 24 1000 2 24 2 1.9953 10 (2 ) = − ≈− ≈ . 14. 已知单摆的振动周期 2π l T g = , 其中 2 g = 980cm/s , l 为摆长（单位为cm）. 设原摆长 20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少?
解 方程两边求微分得d=8 T,l=20,dT=0.05时 dl≈223(cm)
10 解 2 2 4π gT l = , 方程两边求微分得 2 dd d 2π π gT gl lT T = = , 20, d 0.05 l T = = 时, d 2.23(cm) l ≈