第三章线性方程组 §1消元法 、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组所谓一般线性方程组是指形式为 aux+aux+.+aix,=b, (1) b 的方程组,其中x1,x2…,xn代表n个未知量,s是方程的个数 an(=12,…sj=12…m)称为线性方程组的系数,b(=12;,s)称为常数项 方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等系数an的第一个指标i表 示它在第i个方程,第二个指标j表示它是x,的系数 所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1,k2,…k。组成的有序数组 (k1,k2…kn),当x1,x2,…,x分别用k,k2…kn代入后,(1)中每个等式都变成恒 等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合解方程组实际上就是找出它全部的 解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合,它们就称为同 解的 显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程 组就基本上确定了确切地说,线性方程组(1)可以用下面的矩阵 a,n. a2n, 来表示实际上,有了(2)之后,除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了 而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的在中学所学代数里学过用加减 消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组实际上,这个方法比用行列式解 线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组 例如,解方程组
第三章 线性方程组 §1 消元法 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 + + + = + + + = + + + = s s sn n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (1) 的方程组，其中 n x , x , , x 1 2 代 表 n 个未知量， s 是方程的个数， a (i 1,2, ,s; j 1,2, ,n) ij = = 称为线性方程组的系数， b ( j 1,2, ,s) j = 称为常数项. 方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 ij a 的第一个指标 i 表 示它在第 i 个方程，第二个指标 j 表示它是 j x 的系数. 所谓方 程组(1) 的一个 解就 是指由 n 个数 n k , k , , k 1 2 组成 的有序 数组 ( , , , ) 1 2 n k k k ，当 n x , x , , x 1 2 分别用 n k , k , , k 1 2 代入后，(1)中每个等式都变成恒 等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的 解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同 解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程 组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了， 而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减 消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解 线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组
x1-x2+3x3 4x1+2x2+5x3=4, x2 2x3=5 第二个方程组减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成 x,+5x x2=4. 第二个方程减去第三个方程的2倍,把第二第三两个方程的次序互换,即得 2 这样,就容易求出方程组的解为(9,-1,-6) 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成 1.用一非零数乘某一方程; 2.把一个方程的倍数加到另一个方程 3.互换两个方程的位置 定义1变换1,2,3称为线性方程组的初等变换 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是把方程 组变成同解的方程组 下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组 对于方程组(1),首先检查x1的系数如果x1的系数a12a1,…,an全为零,那 么方程组(1)对x1没有任何限制,x就可以取任何值,而方程组(1)可以看作 x2…xn的方程组来解如果x1的系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设 a1≠0利用初等变换2,分别把第一个方程的-a倍加到第i个方程(i=2,,n 于是方程组(1)就变成
+ + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 − = − = − + = 2 4. 4 2 , 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 = − − = − + = 6. 2 4 , 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用 的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程 组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , , a a as 全为零，那 么方程组(1)对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组(1)可以看作 n x , , x 2 的方程组来解.如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11 0.利用初等变换 2，分别把第一个方程的 11 1 a ai − 倍加到第 i 个方程( i = 2 , ,n ). 于是方程组(1)就变成
aux,+aux,+.+a, x,=b, b2 b 其中 这样,解方程组(1)的问题就归结为解方程组 ta'x= b 的问题显然(4)的一个解,代入(3)的第一个方程就定出x1的值,这就得出(3)的 个解;(3)的解显然都是(4)的解这就是说,方程组(3)有解的充要条件为方程组(4) 有解,而(3)与(1)是同解的,因之,方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解 对(4)再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个 阶梯形方程组为了讨论起来方便,不妨设所得的方程组为 C1x1+C12x2+…+cux1+…+Cnxn=d1 C2x2+…+c2x1+…+C2nxn=d2, C_x+…+cx=d 0=0 其中c1≠0,i=1,2,…,r方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现,也 可能出现,这时去掉它们也不影响(5)的解而且(1)与(5)是同解的 现在考虑(5)的解的情况 如(⑤)中有方程0=d,,而d≠0.这时不管x1,x2…x取什么值都不能使 它成为等式故(5)无解,因而(1)无解 当d是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时,分两种情况 1)r=n.这时阶梯形方程组为
+ + = + + = + + + = , , , 2 2 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s sn n s n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b (3) 其中 a i s j n a a a a j i ij ij , 2 , , , 2 , , 1 11 = − 1 = = 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 + + = + + = s sn n n n n a x a x b a x a x b 2 2 22 2 2 2 , (4) 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得出(3)的一 个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4) 有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个 阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 = = = + + = + + + + = + + + + + = + 0 0 . 0 0 , 0 , , , , 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 r r r r r n n r r r n n r r n n d c x c x d c x c x c x d c x c x c x c x d (5) 其中 c i r ii 0 , =1,2, , .方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也 可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程 0 = dr+1 ，而 dr+1 0.这时不管 n x , x , , x 1 2 取什么值都不能使 它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当 dr+1 是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1） r = n.这时阶梯形方程组为
Cux,+Cix,+.+Cx=d d d 其中cn≠0,i=1,2,…n由最后一个方程开始,xn,xn1…x的值就可以逐个地唯 决定了在这个情形,方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解 例1解线性方程组 +3x3=1, 4x1+2x2+5x3=4, x1+x2+2x3=5 2)r<n.这时阶梯形方程组为 C1x1+C12x2+…+c1x+C1xn+1+…+Cnxn=d1, d 其中cn≠0,i=1,2,…,r.把它改写成 x1+c12x2+…+C1nx1=d1-C1+xn+-…-Cnxn, d 由此可见,任给x1,…xn一组值,就唯一地定出x12x2,…x,的值,也就是定出 方程组(7)的一个解一般地,由(我们可以把x1,x2…x通过x…,xn表示出 来,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解,而x…,xn称为一组自由未知量 例2解线性方程组 x2+4x3=-1 从这个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就是(5)的样子,但 是只要把方程组中的某些项调动一下,总可以化成(5)的样子
= + + = + + + = , , , 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 nn n n n n n n c x d c x c x d c x c x c x d (6) 其中 cii 0 , i =1,2, ,n.由最后一个方程开始， 1 1 x , x , , x n n− 的值就可以逐个地唯 一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例 1 解线性方程组 + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 2） r n.这时阶梯形方程组为 + + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + , , , , 1 1 2 2 2 2 2, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1 r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d 其中 c i r ii 0 , =1,2, , .把它改写成 = − − − + + = − − − + + + = − − − + + + + + + . , , , 1 1 2 2 2 2 2 2, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1, 1 1 1 r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d c x c x (7) 由此可见，任给 r n x , , x +1 一组值，就唯一地定出 r x , x , , x 1 2 的值，也就是定出 方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把 r x , x , , x 1 2 通过 r n x , , x +1 表示出 来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而 r n x , , x +1 称为一组自由未知量. 例 2 解线性方程组 − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但 是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程总起来说就是,首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话) 去掉如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数,那么方程组无 解,否则有解在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的 个数,那么方程组有唯一的解;如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的 个数,那么方程组就有无穷多个解 定理1在齐次线性方程组 aux 0 中,如果s<n,那么它必有非零解 矩阵 aa 称为线性方程组(1)的增广矩阵显然,用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于 用初等行变换化增广矩阵(10成阶梯形矩阵因此,解线性方程组的第一步工作可 以通过矩阵来进行,而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解,在 有解的情形,回到阶梯形方程组去解. 例3解线性方程组 x-x2+3x3=1 4x1-2x,+5x3=4 x,+4x
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变 换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话) 去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无 解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的 个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的 个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 中，如果 s n ，那么它必有非零解. 矩阵 s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (10) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于 用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可 以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在 有解的情形，回到阶梯形方程组去解. 例 3 解线性方程组 − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x