北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第四章 矩阵（4.7）分块乘法的初等变换及应用举例

§7分块乘法的初等变换及应用举例 将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段 现设某个单位矩阵如下进行分块: E O O E 对它进行两行(列)对换;某一行(列左乘(右乘)个矩阵P;一行(列)加上另 (列)的P(矩阵)倍数,就可得到如下类型的一些矩阵 En0八oE八OP八oE八PE 和初等矩阵与初等变换的关系一样,用这些矩阵左乘任一个分块矩阵 A B 只要分块乘法能够进行,其结果就是对它进行相应的变换: .5(b-( OYA B OEn人CD(CD E OYA B A B P EnC D C+PA D+PB 同样,用它们右乘任一矩阵,进行分块乘法时也有相应的结果 在(3)中,适当选择P,可使C+PA=O.例如A可逆时,选P=-CA,则 C+PA=O于是(3)的右端成为 B O D-CA-B 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的,因此(3) 中的运算非常有用 例1设 A O C D A,D可逆,求T

§7 分块乘法的初等变换及应用举例 将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段. 现设某个单位矩阵如下进行分块：         n m O E E O . 对它进行两行(列)对换；某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 P ；一行(列)加上另 一行(列)的 P (矩阵)倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：                                         n m n m m m n n P E E O O E E P O P E O O E P O E O O E , , , , . 和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵         C D A B , 只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：         =                A B C D C D A B E O O E n m , (1)         =                C D PA PB C D A B O E P O n , (2)         + + =                C PA D PB A B C D A B P E E O n m . (3) 同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果. 在(3)中，适当选择 P ，可使 C + PA = O .例如 A 可逆时，选 −1 P = −CA ，则 C + PA = O.于是(3)的右端成为         − − O D CA B A B 1 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的，因此(3) 中的运算非常有用. 例 1 设         = C D A O T , A,D 可逆，求 −1 T

例2设 其中T,D可逆,试证(A-BDC)存在,并求T1 例3证明行列式的乘积公式| ABAB 例4设A=a)n,且 |≠0,1≤k≤n, 则有下三角形矩阵B使 上三角形矩阵

例 2 设         = C D A B T1 , 其中 T1 ,D 可逆，试证 1 1 ( ) − − A− BD C 存在，并求 1 1 − T . 例 3 证明行列式的乘积公式 | AB |=| A || B | . 例 4 设 ( ) n n A aij  = ，且 0 ,1 , 1 11 1 k n a a a a k kk k        则有下三角形矩阵 Bnn 使 BA =上三角形矩阵