§7不变子空间 对于给定的n维线性空间V,A∈L(U),如何才能选到V的一个基使A关于 这个基的矩阵具有尽可能简单的形式由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相 似的因而问题也可以这样提出在一切彼此相似的n阶矩阵中,如何选出一个形 式尽可能简单的矩阵这一节介绍不变子空间的概念,来说明线性变换的矩阵的 化简与线性变换的内在联系 定义7设A是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的一个子空间.如 果W中的向量在A下的像仍在W中,换句话说,对于W中任一向量ξ,有 A5∈W,就称W是A的不变子空间,简称A子空间. 例1整个空间V和零子空间⑨},对于每个线性变换,都是是子空间 例2的值域与核都是-子空间. 例3若线性变换理与B是可交换的,则B的核与值都是-子空间. 因为理的多项式∫()是和交换的,所以f(的值域与核都是A-子空间 例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系设W是一维-子空间, 5是W中任何一个非零向量,它构成W的一个基按子空间的定义,∈W, 它必是2的一个倍数 A5=A05 这说明ξ是理的特征向量,而W即是由5生成的一维A-子空间 反过来,设ξ是理属于特征值x的一个特征向量,则5以及它任一倍数在理 下的像是原像的A倍,仍旧是ξ的一个倍数这说明的倍数构成一个一维A-子 空间 显然,理的属于特征值0的一个特征子空间V也是理的一不变子空间
§7 不变子空间 对于给定的 n 维线性空间 V ，A∈ L(V) ,如何才能选到 V 的一个基,使 A 关于 这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相 似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的 n 阶矩阵中,如何选出一个形 式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的 化简与线性变换的内在联系. 定义 7 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线性变换,W 是 V 的一个子空间.如 果 W 中的向量在 A 下的像仍在 W 中，换句话说,对于 W 中任一向量 ，有 A W ，就称 W 是 A 的不变子空间，简称 A-子空间. 例 1 整个空间 V 和零子空间 0 ，对于每个线性变换 A，都是 A-子空间. 例 2 A 的值域与核都是 A-子空间. 例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则 B 的核与值都是 A-子空间. 因为 A 的多项式 f (A)是和 A 交换的，所以 f (A)的值域与核都是 A-子空间. 例 4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间. 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设 W 是一维 A-子空间， 是 W 中任何一个非零向量，它构成 W 的一个基.按 A-子空间的定义，A W , 它必是 的一个倍数: A = 0 . 这说明 是 A 的特征向量，而 W 即是由 生成的一维 A-子空间. 反过来，设 是 A 属于特征值 0 的一个特征向量，则 以及它任一倍数在 A 下的像是原像的 0 倍，仍旧是 的一个倍数.这说明 的倍数构成一个一维 A-子 空间. 显然，A 的属于特征值 0 的一个特征子空间 0 V 也是 A 的一不变子空间
-子空间的和与交还是-子空间 设是线性空间V的线性变换,W是的不变子空间由于W中向量在A下 的像仍在W中,这就使得有可能不必在整个空间V中来考虑A,而只在不变子空 间W中考虑A,即把A看成是W的一个线性变换,称为在不变子空间W上引 起的变换为了区别起见,用符号W来表示它;但是在很多情况下,仍然用理 来表示而不致引起混淆. 必须在概念上弄清楚A与川W的异同:是V的线性变换,V中每个向量 在A下都有确定的像:用|W是不变子空间W上的线性变换,对于W中任一向量 E,有 (W)2= 但是对于V中不属于W的向量n来说,(团W)n是没有意义的 例如,任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换,而在特征子空间V 上引起的变换是数乘变换λ 如果线性空间V的子空间W是由向量组a1a2,…a,生成的,即 W=L(a1,a2,…a,),则W是A-子空间的充要条件为Aa1,a;…,Aa,全属于 W 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系 1)设A是维线性空间V的线性变换,W是V的子空间在W中取一组基 E1,62…,Ek,并且把它扩充成V的一组基 Ek,ak+1s (1) 那么,在这组基下的矩阵就具有下列形状
A-子空间的和与交还是 A-子空间. 设 A 是线性空间 V 的线性变换, W 是 A 的不变子空间.由于 W 中向量在 A 下 的像仍在 W 中，这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A，而只在不变子空 间 W 中考虑 A，即把 A 看成是 W 的一个线性变换，称为 A 在不变子空间 W 上引 起的变换.为了区别起见，用符号 A| W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用 A 来表示而不致引起混淆. 必须在概念上弄清楚 A 与 A| W 的异同：A 是 V 的线性变换, V 中每个向量 在 A 下都有确定的像；A| W 是不变子空间 W 上的线性变换，对于 W 中任一向量 ，有 (A| W ) =A . 但是对于 V 中不属于 W 的向量 来说，（A| W ） 是没有意义的. 例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间 0 V 上引起的变换是数乘变换 0 . 如 果 线 性 空 间 V 的子空间 W 是由向量组 s , , , 1 2 生 成 的 ， 即 ( , , , ) W = L 1 2 s ，则 W 是 A-子空间的充要条件为 A 1 ,A 2 ,…, A s 全属于 W . 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 1）设 A 是维线性空间 V 的线性变换， W 是 V 的 A-子空间.在 W 中取一组基 k , , , 1 2 ,并且把它扩充成 V 的一组基 k k n , , , , , , 1 2 +1 . (1) 那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状
AA 0…0ak+1k+t…akn 并且左上角的级矩阵A就是川W在的基s1,E2…Ek下的矩阵 2)设V分解成若干个子空间的直和: =WW2…⊕W 在每一个子空间W中取基 E1,E12,…,En(i=1,2,…,s) 并把它们合并起来成为V的一组基Ⅰ则在这组基下,A的矩阵具有准对角形状 A (4) 其中A(=1,2,…,s)就是川W在基(3)下的矩阵 反之,如果线性变换A在基Ⅰ下的矩阵是准对角形(4),则由(3)生成的 子空间W是-子空间 由此可知,矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的 下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按特征值分解成不变子空间的直和 定理12设线性变换A的特征多项式为f(A),它可分解成一次因式的乘积 f()=(4-A1)(-A2)2…(-A,) 则V可分解成不变子空间的直和 =④H2④…由V 其中 V={5|(4-E)5=0,5∈
= + + + + + + 2 1 3 , 1 1, 1 1, 1 , 1 11 1 1, 1 1 0 0 0 0 O A A A a a a a a a a a a a a a n k n n k k k n k kk k k kn k k n . (2) 并且左上角的 k 级矩阵 A1 就是 A| W 在的基 k , , , 1 2 下的矩阵. 2) 设 V 分解成若干个 A-子空间的直和： V = W1 W2 Ws . 在每一个 A-子空间 Wi 中取基 , , , ( 1,2, , ) 1 2 i s i i i in = (3) 并把它们合并起来成为 V 的一组基 I .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状 As A A 2 1 (4) 其中 A (i 1,2, ,s) i = 就是 A| W 在基(3)下的矩阵. 反之，如果线性变换 A 在基 I 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的 子空间 Wi 是 A-子空间. 由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的. 下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间 V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理 12 设线性变换 A 的特征多项式为 f () ，它可分解成一次因式的乘积 s r s r r f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 = − 1 − 2 − 则 V 可分解成不变子空间的直和 V =V1 V2 Vs 其中 V A i V r i = | ( − i ) = 0,