北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第五章 二次型（5.4）正定二次型

§4正定二次型 、正定二次型 定义4实二次型f(x1,x2…xn)称为正定的,如果对于任意一组不全为零的实 数c1,C2,…,Cn都有f(c1c2…cn)>0 实二次型 f(x12x2,…,xn)=d1x2+d2x2+…+dnx2 是正定的当且仅当d,>0,i=1,2,…,n 设实二次型 f(x,x2…x)=∑∑ a:a=a 是正定的,经过非退化实线性替换 X=Cy 变成二次型 g(,y2…yn)=∑∑byy,b=bn, (3) 则y1,y2…yn的二次型g(n1,y2…yn)也是正定的,或者说,对于任意一组不全 为零的实数k1,k2…kn都有g(k1,k2…kn)>0 因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换 X=Cy 变到二次型(1),所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定这就是说,非 退化实线性替换保持正定性不变 、正定二次型的判别 定理6实数域上二次型f(x1,x2…x)是正定的它的正惯性指数等于 定理6说明,正定二次型f(x12x2…x)的规范形为

§4 正定二次型 一、正定二次型 定义 4 实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实 数 n c ,c , ,c 1 2  都有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 . 实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x  x = d x + d x ++ d x 是正定的当且仅当 di  0,i =1,2,  ,n . 设实二次型 ( , , , ) , , 1 1 1 2 ij ji n i n j f x x xn =aijxi x j a = a = =  (1) 是正定的，经过非退化实线性替换 X = CY (2) 变成二次型 ( , , , ) , , 1 1 1 2 ij ji n i n j g y y yn =bij yi y j b = b = =  (3) 则 n y , y , , y 1 2  的二次型 ( , , , ) 1 2 n g y y  y 也是正定的，或者说，对于任意一组不全 为零的实数 n k ,k , ,k 1 2  都有 g(k1 ,k2 ,  ,kn )  0 . 因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换 X C Y −1 = 变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非 退化实线性替换保持正定性不变. 二、正定二次型的判别 定理 6 实数域上二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是正定的  它的正惯性指数等于 n. 定理 6 说明，正定二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 的规范形为 2 2 2 2 1 n y + y ++ y (5)

定义5实对称矩阵A称为正定的,如果二次型 正定 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E,所以一个实对称矩阵是正定的◇→它 与单位矩阵合同 推论正定矩阵的行列式大于零 定义6子式 P 1.2 称为矩阵A=(an)mn的顺序主子式 定理7实二次型 f(x, XAX 是正定的兮矩阵A的顺序主子式全大于零 例判定二次型 5x2+x2+5x2+4x 8 4x 是否正定 定义7设∫(x,x2…,x,)是一实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数 c1,C2,…Cn都有f(c1c2,…cn)<0,那么f(x2x2…,x)称为负定的;如果都有 C 那么f(x1,x2…,x)称为半正定 如果都有 f(c1,c2…,cn)≤0,那么∫(x1,x2,…,x,)称为半负定的;如果它既不是半正定又不 是半负定,那么∫(x,x2…x)就称为不定的 由定理7不难看出负定二次型的判别条件这是因为当f(x1,x2…,x,)是负定 时,-f(x1,x2…,x)就是正定的

定义 5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 X AX 正定. 因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的  它 与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义 6 子式 ( 1,2, , ) 1 2 21 22 2 11 12 1 i n a a a a a a a a a P i i ii i i i      = = 称为矩阵 A aij nn = ( ) 的顺序主子式. 定理 7 实二次型 f x x x a x x X AX n i n j n ij i j =  =  =1 =1 1 2 ( , ,, ) 是正定的  矩阵 A 的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 定义 7 设 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数 n c ,c , ,c 1 2  都有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ,那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为负定的；如果都有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称 为 半 正 定 的 ； 如 果 都 有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为半负定的；如果它既不是半正定又不 是半负定，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 就称为不定的. 由定理 7 不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是负定 时， ( , , , ) 1 2 n − f x x  x 就是正定的

定理8对于实二次型f(x1,x2,…,xn)=XX,其中A是实对称的,下列条件 等价 (1)f(x1,x2,…,x,)是半正定的 (2)它的正惯性指数与秩相等 (3)有可逆实矩阵C,使 其中d,≥0,1=1,2,…,n (4)有实矩阵C使 A=CC (5)A的所有主子式皆大于或等于零; 注意,在(5)中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的 比如 f(x1,x2)=-x2=(x1,x2 00x1 就是一个反例 证明Th8,(5)→(1)设A的主子式全大于或等于零,|A41是A的m级顺序 主子式,An是对应的矩阵 JEm+Am= m+PAm-+…+P,A+ P 其中P是A中一切级主子式之和,由题设P>0,故当2>0时,AEm+A>0, AE+A是正定矩阵 若A不是半正定矩阵,则存在一个非零向量x=(b2…b),使

定理 8 对于实二次型 f (x1 , x2 ,  , xn ) = X AX ，其中 A 是实对称的，下列条件 等价： （1） ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是半正定的； （2）它的正惯性指数与秩相等； （3）有可逆实矩阵 C ，使                = dn d d C AC  2 1 其中 di  0,i =1,2,  ,n ； （4）有实矩阵 C 使 A = CC. （5） A 的所有主子式皆大于或等于零； 注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如                 − = − = 2 1 1 2 2 1 2 2 0 1 0 0 ( , ) ( , ) x x f x x x x x 就是一个反例. 证明 Th8, (5)  (1) 设 A 的主子式全大于或等于零， Am 是 A 的 m 级顺序 主子式， Am 是对应的矩阵 m m m m m m mm m m m m P P P a a a a a a a a a E A = + + + + + + + + = − −        1 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1         其中 Pi 是 Am 中一切 i 级主子式之和，由题设 Pi  0 ，故当   0 时， Em + Am  0 ， E + A 是正定矩阵. 若 A 不是半正定矩阵，则存在一个非零向量 ( ) n X0  = b1 b2  b ，使

XOAXO=-C(C>0) >0 b2+b2+…+b2 XOCE+ A)Xo=XOEXo+XoAro=C-C=0 与λ>0时E+A是正定矩阵矛盾,故A是半正定矩阵 Th8(1)→(5)记A的行指标和列指标为h1,2,…的k级主子式为4|,对应 矩阵是A1,对任意y={b1,b2…b)≠0,有X=(1,c2…cn)≠0其中 b,=,… 0,j≠,l2… 又A是半正定矩阵从而Y4X=XAX0≥0 若A40时,AkAA'.A都是正定矩阵 证明由于A正定,存在可逆矩阵C,使CAC=E, CA-(C)=E,从而A为正定矩阵 v0≠X∈R”,XAX>0,∴.X(kA)X>0(k>0) kA正定 又A正定,4>0,A正定,A=4A正定

( 0) X0 AX0 = −C C  令 0 2 2 2 2 0 0 1  + + + =  = b b bn C X X C   X0 (E + A)X0 = X0 EX0 + X0 AX0 = C −C = 0 与   0 时 E + A 是正定矩阵矛盾，故 A 是半正定矩阵. Th8 (1)  (5) 记 A 的行指标和列指标为 k i ,i , ,i 1 2  的 k 级主子式为 Ak ，对应 矩阵是 Ak ，对任意 ( , , , ) 0 0 1 2 =  k Y bi bi  bi ，有 X0 = (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ,其中     = = 0, , , , , , , , , ; 1 2 1 2 k j k j j i i i b j i i i c   又 A 是半正定矩阵,从而 Y0 AkY0 = X0 AX0  0. 若 Ak  0 ，则 P234,12T，存在 Y  0 使 YAkY  0 与 YAkY  0 矛盾，所以 Ak  0 . ◇设 A 为 n 级实矩阵，且 A  0 ，则 AA, AA 都是正定矩阵. ◇设 A 为 nm 实矩阵，则 AA, AA 都是半正定矩阵. 证 明 AA 是 实 对 称 矩阵 ， n X  R 令 U = AX ， 则 U 是 m 维 实 向 量 ( )  U = u u um , , , 1 2  ( ) ( )( ) 0 2 2 2 2  X  AA X = X A AX = U U = u1 + u ++ um   AA 是半正定矩阵，同理可证 AA 是半正定矩阵. ◇设 A 是 n 级正定矩阵，则 k  0 时， n A ,kA, A .A −1 * 都是正定矩阵. 证明 由于 A 正定，存在可逆矩阵 C ，使 CAC = E ,  C A C = E −1 −1 −1 ( ) ,从而 −1 A 为正定矩阵. 0  X  R , X AX  0 ,  X (k A)X  0 (k  0) n  kA 正定 又 A 正定， A  0 , −1 A 正定, * −1 A = A A 正定

A1=14≠0,4对称 当m=2k时,A=A2=(A)EA,从而Am正定 当m=2k+1时,Am=A2=(A)A(4) 所以Am与A合同,因而Am正定

k k k A = A  0 , A 对称 当 m = 2k 时， m k k k A A (A ) EA 2 = =  ,从而 m A 正定. 当 m = 2k +1 时, ( ) ( ) m 2k 1 k k A = A = A A A + 所以 m A 与 A 合同，因而 m A 正定