§2线性空间的定义与简单性质 线性空间的定义 例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算; 2°解析几何中规定的实数与向量的乘法是R×V3到V3的一个运算. 3°由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 定义1令V是一个非空集合,P是一个数域在集合V的元素之间定义了一 种代数运算,叫做加法;这就是说给出了一个法则,,对于V中任意两个向量a与 B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应,称为a与B的和,记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对 于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在中都有唯一的一个元素δ与它 们对应,称为k与α的数量乘积,记为δ=ka.如果加法与数量乘法满足下述规 则,那么V称为数域P上的线性空间 加法满足下面四条规则 +B=B )(a+B) (B+y); 3)在V中有一个元素0,Va∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0 称为V的零元素); 4)Va∈,彐B∈I,St B=0(B称为a的负元素) 数量乘法满足下面两条规则 数量乘法与加法满足下面两条规则
§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量 与 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应,称为 与 的和,记为 = + . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对 于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素 ,在 V 中都有唯一的一个元素 与它 们对应,称为 k 与 的数量乘积,记为 = k .如果加法与数量乘法满足下述规 则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则：: 1) + = + ； 2) ( + ) + = + ( + ) ； 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有 + 0 = （具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）； 4) V, V,st + = 0 ( 称为 的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则：
8)k(a+B)=ka+kB 在以上规则中,k,l等表示数域P中任意数;a,B,y等表示集合中任意元素 例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法,构成一个数域P上的线性空间如果只考虑其中次数小于n的多项式,再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用P[x]n表示 例4元素属于数域P的m×n矩阵,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法, 构成数域P上的一个线性空间,用Pmm表示 例5全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上 的线性空间 例6数域P按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法 ∈R,a∈p 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式 的乘法 例8设V是正实数集,R为实数域.规定 a⊕B=aB(即a与B的积), (即a的a次幂), 其中a,B∈V,a∈R.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y,…代 表线性空间V中的元素,用小写拉丁字母a,b,c,…代表数域P中的数
7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项式 的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 = (即 与 的积), a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 , , , 代 表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c, 代表数域 P 中的数
1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的 3.0a=0,k0=0,(-1a=-a 4.如果k=0,那么k=0或者a=0
1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者 = 0
