§3线性相关性 般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外,都含有无穷多个向量,这 些向量之间有怎样的关系,对于弄清向量空间的结构至关重要 线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例所谓向量a与B成比例就是说有一数 k使 定义9向量a称为向量组B1,B2…,B2的一个线性组合,如果有数域P中 的数k1,k2…,k,使 a=k1B1+k2B2+…+k,B, 其中k1,k2…,k,叫做这个线性组合的系数 例如,任一个n维向量a=(a1,a2…,an)都是向量组 E1=(1,0,…,0), =(0,0…,1) 的一个线性组合 向量1,E2…,En称为n维单位向量 零向量是任意向量组的线性组合 当向量a是向量组月,B2…B的一个线性组合时,也说a可以经向量组 B1,B2,…,B线性表出 定义10如果向量组a1a2…a,中每一个向量a,(i=12,…1)都可以经向 量组B1,B2,…,B,线性表出,那么向量组a1,a2,…a,就称为可以经向量组 B1,B2,…B线性表出如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价 由定义有,每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时,如果向量组 a1,ax2…a1可以经向量组B1,B2…,B,线性表出,向量组B1,B2…,B,可以经向量
§3 线性相关性 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这 些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说有一数 k 使 = k . 定义 9 向量 称为向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合，如果有数域 P 中 的数 s k , k , , k 1 2 ，使 s s = k11 + k2 2 ++ k , 其中 s k , k , , k 1 2 叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个 n 维向量 ( , , , ) = a1 a2 an 都是向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n （1） 的一个线性组合. 向量 n , , , 1 2 称为 n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量 是向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合时，也说 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出. 定义 10 如果向量组 t , , , 1 2 中每一个向量 (i 1,2, ,t) i = 都可以经向 量组 s , , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 就称为可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组 t , , , 1 2 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，向量组 s , , , 1 2 可以经向量
组y1,y2,…y,线性表出,那么向量组a1,a2…a1可以经向量组线性表出 向量组之间等价具有以下性质 1)反身性:每一个向量组都与它自身等价 2)对称性:如果向量组α1,a2…a,与B1,月2…,B,等价,那么向量组 β1,B2…B,与a1,a2…,a,等价 3)传递性:如果向量组∝1a2…α,与月,B2…,月等价,月,B2,…,月,与 y1,y2…yn等价,那么向量组a1a2,…a,与y12y2…yn等价 定义11如果向量组a,a2,…,a,(s≥2)中有一个向量是可以由其余的向量 的线性表出,那么向量组a1a2…a,线性相关 从定义可以看出,任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组 a1a2线性相关就表示a1=ka2或者a2=ka1(这两个式子不一定能同时成立) 在P为实数域,并且是三维时,就表示向量a1与a2共线三个向量a1,a2,a3线性 相关的几何意义就是它们共面 定义11′向量组a1a2,…a,(s≥1)称为线性相关的,如果有数域P中不全 为零的数k1,k2,…k,使 k,a,+k2a 这两个定义在s≥2的时候是一致的 定义12一向量组a1a2…a,(s≥1)不线性相关,即没有不全为零的数 k1,k2…k,使 k1a1+k2a2+…+k,a,=0 就称为线性无关;或者说,一向量组a12a2…a,称为线性无关,如果由 ka1+k2a2+…+k,a4=0 可以推出 k1=k2=…=k,=0
组 p , , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 可以经向量组线性表出. 向量组之间等价具有以下性质： 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价，那么向量组 t , , , 1 2 与 s , , , 1 2 等价. 3）传递性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价， t , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价，那么向量组 s , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价. 定义 11 如果向量组 s , , , 1 2 (s 2) 中有一个向量是可以由其余的向量 的线性表出，那么向量组 s , , , 1 2 线性相关. 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组 1 2 , 线性相关就表示 1 2 = k 或者 2 1 = k (这两个式子不一定能同时成立). 在 P 为实数域，并且是三维时，就表示向量 1 与 2 共线.三个向量 1 2 3 , , 线性 相关的几何意义就是它们共面. 定义 11′向量组 s , , , 1 2 (s 1) 称为线性相关的，如果有数域 P 中不全 为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 这两个定义在 s 2 的时候是一致的. 定义 12 一向量组 s , , , 1 2 (s 1) 不线性相关，即没有不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 就称为线性无关；或者说，一向量组 s , , , 1 2 称为线性无关，如果由 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 可以推出 k1 = k2 == ks = 0
由定义有,如果一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关 换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 特别地,由于两个成比例的向量是线性相关的,所以,线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量 定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性 相关,单独一个非零向量线性无关 不难看出,由m维单位向量s,E2…En组成的向量组是线性无关的 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题.要判断一个向量组 a1=(an,aa2…,an)i=1,2,…,s 是否线性相关,根据定义11,就是看方程 x1+x2a2+…+x,a,=0 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 a1x1+a21x2+…+an1x 2x1 a2X+…+a,x a,x,+a2,x2+.+asnx,=0 因之,向量组a,a2…,a,线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解 例1判断P3的向量 a1=(-2,3),a2=(2,10),a3=(1,-7,9) 是否线性相关。 例2在向量空间P[x里,对于任意非负整数n 线性无关 例3若向量组a1,a2,a3线性无关,则向量组2a1+a2,a2+5a3,4a3+3x1也线 性无关 从而,如果向量组(2)线性无关,那么在每一个向量上添一个分量所得到的
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关. 换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定 不能包含两个成比例的向量. 定义 11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性 相关，单独一个非零向量线性无关. 不难看出，由 n 维单位向量 n , , , 1 2 组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组 的问题.要判断一个向量组 a a a i s i i i in ( , , , ) 1,2 , , = 1 2 = (2) 是否线性相关，根据定义 11，就是看方程 x11 + x2 2 ++ xs s = 0 (3) 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 + + + = + + + = + + + = 0. 0 , 0 , 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 n n sn s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x (4) 因之，向量组 s , , , 1 2 线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解. 例 1 判断 3 P 的向量 (1, 2,3), (2,1,0), (1, 7,9) 1 = − 2 = 3 = − 是否线性相关。 例 2 在向量空间 P[x] 里，对于任意非负整数 n n 1, x, x , , x 2 线性无关. 例 3 若向量组 1 2 3 , , 线性无关，则向量组 1 2 2 3 4 3 3 1 2 + , + 5 , + 也线 性无关. 从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的
n+1维的向量组 B1=(an,a12 1),i=1,2 也线性无关 定理2设a1,a2,…a与B1,B2,…B,是两个向量组如果 1)向量组a2a2…a,可以经B,月2…,B,线性表出, 2)r>s, 那么向量组a1a2…a必线性相关 推论1如果向量组a1,a2…,a,可以经向量组B1,B2,…,B,线性表出,且 a,a2,…a线性无关,那么r≤s 推论2任意n+1个n维向量必线性相关 推论3两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 定理2的几何意义是清楚的:在三维向量的情形,如果s=2,那么可以由 向量B1,B2线性表出的向量当然都在B1,B2所在的平面上,因而这些向量是共面 的,也就是说,当>2时,这些向量线性相关两个向量组a1,a2与B1,B2等价, 就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组 本身是线性无关的,并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得 的部分向量组都线性相关 个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身 极大线性无关组的一个基本性质是,任意一个极大线性无关组都与向量组本 身等价 例4看P3的向量组 a1=(1,00),a2=(0,10,a3=(1,10) 在这里{a1a2}线性无关,而a3=a1+a2,所以{a12a2}是一个极大线性无 关组.另一方面,{a12a3},{a2,a3}也都是向量组{a1,a2,a3}的极大线性无
n +1 维的向量组 a a a a i s i i i i n i n ( , , , , ) , 1,2, , = 1 2 , +1 = (5) 也线性无关. 定理 2 设 r , , , 1 2 与 s , , , 1 2 是两个向量组.如果 1）向量组 r , , , 1 2 可以经 s , , , 1 2 线性表出， 2） r s， 那么向量组 r , , , 1 2 必线性相关. 推论 1 如果向量组 r , , , 1 2 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，且 r , , , 1 2 线性无关，那么 r s . 推论 2 任意 n +1 个 n 维向量必线性相关. 推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. 定理 2 的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果 s = 2 ，那么可以由 向量 1 2 , 线性表出的向量当然都在 1 2 , 所在的平面上，因而这些向量是共面 的，也就是说，当 r 2 时，这些向量线性相关.两个向量组 1 2 , 与 1 2 , 等价， 就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组 本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得 的部分向量组都线性相关. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本 身等价. 例 4 看 3 P 的向量组 (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0) 1 = 2 = 3 = 在这里｛ 1 2 , ｝线性无关，而 3 =1 + 2 ，所以｛ 1 2 , ｝是一个极大线性无 关组.另一方面，｛ 1 3 , ｝，｛ 2 3 , ｝也都是向量组｛ 1 2 3 , , ｝的极大线性无
关组 由上面的例子可以看出,向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个 极大线性无关组都与向量组本身等价,因而,一向量组的任意两个极大线性无关 组都是等价的 定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理3表明,极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无 关,它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知,任意两个 等价向量组的极大线性无关组也等价.所以,等价的向量组必有相同的秩 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组,且任一个线性无关的部分向 量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关 组.规定这样的向量组的秩为零 现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系,给定一个方程组 +a d1 (A1) +…+a2nxn=d2 ax,ta, x2 d (A,) 各个方程所对 量分别是 a1=(a1,a12…a1n,d1),a2=(a21,a2,…,a2n,d2),…, a2=(an1,a,2,…,an,d,).设有另一个方程 bx1+b2x2+…+bnxn=d 它对应的向量为B=(b1b2…bn,d).则β是a1a2…;a,的线性组合, B=la1+l2a2+…+l,a,当且仅当(B)=1(41)+l2(A42)+…+l,(A1),即方程(B) 是方程(A1),(A2)…(4,)的线性组合.容易验证,方程组(A1)(A2)…(A)的解一 定满足(B).进一步设方程组
关组. 由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个 极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关 组都是等价的. 定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定理 3 表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无 关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个 等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩. 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向 量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关 组.规定这样的向量组的秩为零. 现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组 + + + = + + + = + + + = , ( ) , ( ) , ( ) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 s s s n n s s n n n n a x a x a x d A a x a x a x d A a x a x a x d A 各个方程所对应的向量分别是 ( , , , , ), ( , , , , ), , 1 = a11 a12 a1n d1 2 = a21 a22 a2n d2 ( , , , , ) s = as1 as2 asn ds .设有另一个方程 , ( ) b1 x1 + b2 x2 ++ bn xn = d B 它对应的向量为 ( , , , , ) = b1 b2 bn d . 则 是 s , , , 1 2 的线性组合， s s = l 11 + l 2 2 ++ l 当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s As B = l A + l A ++ l ，即方程(B) 是方程 ( ),( ), ,( ) A1 A2 As 的线性组合.容易验证，方程组 ( ),( ), ,( ) A1 A2 As 的解一 定满足(B).进一步设方程组
bux,+bu2x2 C (B1) b21x1 .+b (B2) x1+ B 它的方程所对应的向量为B,B2…B.若月,B2,…,B,可经a1,a2…,a线 性表出,则方程组(A1)(A1)…(A4)的解是方程组(B)(B2)…(B,)的解再进 步,当a,α2…α,与B1,月2…B等价时,两个方程组同解 例5(1)设a,a2,a3线性无关,证明a2a1+a2,ax1+a2+a3也线性无关; 对n个线性无关向量组a1,a2,…,an,以上命题是否成立? (2)当a1a2a3线性无关,证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关,当 a1,a2…an线性无关时,a1+a2a2+a3…;an-1+an,an+a1是否也线性无关? 例6设在向量组a1,a2…,an中,a1=≠0且每个a,都不能表成它的前-1个向 量a12a2…a-1的线性组合,证明a1a2,…an线性无关
+ + + = + + + = + + + = , ( ) , ( ) , ( ) 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 r r r n n r r n n n n b x b x b x c B b x b x b x c B b x b x b x c B 它的方程所对应的向量为 r , , , 1 2 .若 r , , , 1 2 可经 s , , , 1 2 线 性表出，则方程组 ( ),( ), ,( ) A1 A2 As 的解是方程组 ( ),( ), ,( ) B1 B2 Br 的解.再进一 步，当 s , , , 1 2 与 r , , , 1 2 等价时，两个方程组同解. 例 5 （1）设 1 2 3 , , 线性无关，证明 1 1 2 1 2 3 , + , + + 也线性无关； 对 n 个线性无关向量组 n , , , 1 2 ，以上命题是否成立？ （ 2 ） 当 1 2 3 , , 线 性无 关 ，证 明 1 2 2 3 3 1 + , + , + 也 线 性无 关 ， 当 n , , , 1 2 线性无关时， 1 2 2 3 1 1 + , + , , n− + n , n + 是否也线性无关？ 例 6 设在向量组 n , , , 1 2 中， 1 = 0 且每个 i 都不能表成它的前 i −1 个向 量 1 2 1 , , , i− 的线性组合，证明 n , , , 1 2 线性无关