§6重因式 、重因式的定义 定义9不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式如果p(x)|f(x),但 p(x)rf(x) 如果k=0,那么p(x)根本不是f(x)的因式;如果k=1,那么p(x)称为f(x) 的单因式;如果k>1,那么p(x)称为f(x)的重因式 注意.k重因式和重因式是两个不同的概念不要混淆 显然,如果f(x)的标准分解式为 f(x)=cp(x)p2(x)..P"(x) 那么P1(x),P2(x)…P,(x)分别是f(x)的r重,n重,…,r重因式指数厂=1的 那些不可约因式是单因式;指数r>1的那些不可约因式是重因式 不可约多项式p(x)是多项式f(x)的k重因式的充要条件是存在多项式g(x), 使得f(x)=p(x)g(x),且p(x)|g(x) 重因式的判别 设有多项式 f(x)=a,x"+a-x+.+ax+ao 规定它的微商(也称导数或一阶导数)是 f(x)=a,nx"+a(n-1)x 通过直接验证可以得出关于多项式微商的基本公式 (f(x)+g(x))=f(x)+g'(x) (cf(x))=cf(x) (∫(x)g(x)’=f(x)g'(x)+f(x)g(x) (∫m(x)=m(m(x)f(x) 同样可以定义高阶微商的概念微商∫(x)称为∫(x)的一阶微商:∫'(x)的微商 f"(x)称为f(x)的二阶微商;等等.f(x)的k阶微商记为f(x)
§6 重因式 一、重因式的定义 定义 9 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式,如果 p (x) | f (x) k ,但 ( ) | ( ) 1 p x f x k + . 如果 k = 0 ，那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；如果 k =1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果 k 1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式. 注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果 f (x) 的标准分解式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s = r r , 那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 分别是 f (x) 的 1 r 重， 2 r 重，… , s r 重因式.指数 ri =1 的 那些不可约因式是单因式；指数 ri 1 的那些不可约因式是重因式. 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的 k 重因式的充要条件是存在多项式 g(x) , 使得 f (x) p (x)g(x) k = ,且 p(x) | g(x). 二、重因式的判别 设有多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − , 规定它的微商（也称导数或一阶导数）是 1 2 1 1 f (x) a nx a (n 1)x a n n n = n + − + + − − − . 通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ), f x g x f x g x f x g x cf x cf x f x g x f x g x = + = + = + ） ( ( )) ( ( ) ( )) 1 f x m f x f x m m = − 同样可以定义高阶微商的概念.微商 f (x) 称为 f (x) 的一阶微商； f (x) 的微商 f (x) 称为 f (x) 的二阶微商；等等. f (x) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) f x k
一个m(n21)次多项式的微商是一个n-1次多项式;它的n阶微商是一个常 数:它的n+1阶微商等于0. 定理6如果不可约多项式p(x)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式那么 p(x)是微商f(x)的k-1重因式 分析:要证p(x)是微商∫(x)的k-1重因式,须证p4-(x)|f(x),但 p(x)lf(x) 注意:定理6的逆定理不成立如 f(x)=x3-3x2+3x+3,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2, x-1是f(x)的2重因式但根本不是f(x)是因式当然更不是三重因式 推论1如果不可约多项式p(x)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式那么 p(x)是f(x),f(x)…,∫=(x)的因式,但不是f)(x)的因式 推论2不可约多项式p(x)是多项式f(x)的重因式的充要条件是p(x)是 f(x)与f(x)的公因式 推论3多项式f(x)没有重因式台→(f(x),f(x)=1 这个推论表明,判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算一一辗转相除 法来解决,这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域P过渡到含P的数域P时都无改变所以由定理6有以下结论 若多项式f(x)在P[x]中没有重因式,那么把f(x)看成含P的某一数域P上 的多项式时,f(x)也没有重因式 例1判断多项式 f(x)=x-5x3+9x2-7x+2 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设f(x)有重因式其标准分解式为
一个 n(n 1) 次多项式的微商是一个 n −1 次多项式；它的 n 阶微商是一个常 数；它的 n +1 阶微商等于 0. 定理 6 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k 1) 重因式,那么 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重因式. 分 析 : 要 证 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重因式 , 须 证 ( ) | ( ) 1 p x f x k − , 但 p (x) | f (x) k . 注意:定理 6 的逆定理不成立.如 ( ) 3 3 3 3 2 f x = x − x + x + , 2 2 f (x) = 3x − 6x + 3 = 3(x −1) , x −1 是 f (x) 的 2 重因式,但根本不是 f (x) 是因式.当然更不是三重因式. 推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k 1) 重因式,那么 p(x) 是 f (x) ， f (x) ,…, ( ) ( 1) f x k− 的因式,但不是 ( ) ( ) f x k 的因式. 推论 2 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的重因式的充要条件是 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的公因式. 推论 3 多项式 f (x) 没有重因式 ( f (x), f (x)) = 1 这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除 法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域 P 过渡到含 P 的数域 P 时都无改变,所以由定理 6 有以下结论: 若多项式 f (x) 在 P[x] 中没有重因式,那么把 f (x) 看成含 P 的某一数域 P 上 的多项式时, f (x) 也没有重因式. 例 1 判断多项式 ( ) 5 9 7 2 4 3 2 f x = x − x + x − x + 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设 f (x) 有重因式,其标准分解式为
f(x)=CP1(X)^p2(x)…P、(x) 那么由定理5 f'(x)=P1(x)-p2(x)2-…p,(x)-g(x) 此处g(x)不能被任何p(x)i=1,2,…,S)整除于是 (f(x),f(x)=d(x)=p(x)p2(x)2-1…p,(x) 用d(x)去除f(x)所得的商为 h(x)=Cp1(x)P2(x)……p,(x) 这样得到一个没有重因式的多项式h(x)且若不计重数,h(x)与f(x)含有完全相 同的不可约因式把由f(x)找h(x)的方法叫做去掉重因式方法 例2求多项式 f(x)=x-4x2-10x+20x32+65x2+56x+16 的标准分解式
rs s r r f (x) cp (x) p (x) p (x) 1 2 = 1 2 . 那么由定理 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 2 1 1 1 2 f x p x p x p x g x s r s r − r − − = 此处 g(x) 不能被任何 p (x)(i 1,2, ,s) i = 整除.于是 1 1 2 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 1− 2 − − = = s r s r r f x f x d x p x p x p x 用 d (x) 去除 f (x) 所得的商为 ( ) ( ) ( ) ( ) h x = cp1 x p2 x ps x 这样得到一个没有重因式的多项式 h(x) .且若不计重数, h(x) 与 f (x) 含有完全相 同的不可约因式.把由 f (x) 找 h(x) 的方法叫做去掉重因式方法. 例 2 求多项式 ( ) 4 10 20 65 56 16 6 5 4 3 2 f x = x − x − x + x + x + x + 的标准分解式