第三节隐函数和由参数方程所确定的函数的 导数 1.求由下列方程所确定的隐函数y的导数 (1)y=1-xe (3)e+sin(xy)=y (4)arctan -=In x2 解(1)方程两边对x求导,得 从而y= (2)方程两边对x求导,得 Inky=e Inx+==(e 从而y=xny=y x(yInx-x) (3)方程两边对x求导,得 :(+xy)+cos(x"y)(2xy +x y)=2yy ye">+2xycos(x"y (4)方程两边对x求导,得 2x+2yy x2+y22
1 第三节 隐函数和由参数方程所确定的函数的 导 数 习 题 2-3 1. 求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数 d d y x : (1) 1 ey y x = − ; (2) y x x = y ; (3) 2 2 e sin( ) xy + = x y y ; (4) 2 2 arctan ln x x y y = + . 解 (1) 方程两边对 x 求导, 得 e e y y y xy ′ =− − ′ , 从而 e 1 e y y y x ′ = − + . (2) 方程两边对 x 求导, 得 ln ln ln ln (e ) e ( ln ) (e ) e (ln ) yx yx xy xy y x yx y y x y ′′ ′ ′ = += = + , 从而 ( ln ) ( ln ) yx y y y x yxx − ′ = − . (3) 方程两边对 x 求导, 得 2 2 e ( ) cos( )(2 ) 2 xy y xy x y xy x y yy ++ + = ′ ′ ′ , 2 2 2 e 2 cos( ) e cos( ) 2 xy xy y xy x y y x x xy y + ′ = − + − . (4) 方程两边对 x 求导, 得 2 22 22 2 1 1 22 1() 2 y xy x yy x y x y xy y − ′ + ′ = + + + , y x y y x − ′ = +
2.用对数求导法求下列函数的导数 (1) (x2+1)x+2 解(1)方程两边取对数,得 In y=xInx-In(1+x) 方程两边对x求导,得 =Inx-ln(1+x)+x x 1+x (2)方程两边5次方后取对数,得 5ny=ln(x-5)--n(x2+2) 方程两边对x求导,得 oJ (3)方程两边取对数,得 ln(x2+1)-ln(x+2) 方程两边对x求导,得 2. x2+13(x+2) x cosx x2+1)x+22xx2+13(x+2) 3. i sin(ts)+In(s-o=t 的值 解由方程知s=0=1,方程两边对t求导,得
2 2. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) ( ) 1 x x y x = + ; (2) 5 5 2 5 2 x y x − = + ; (3) 2 3 cos ( 1) 2 x x y x x = + + . 解 (1) 方程两边取对数, 得 ln [ln ln(1 )] yx x x = − + , 方程两边对 x 求导, 得 1 1 ln ln(1 ) ( ) 1 y x xx y xx ′ = − ++ − + , 1 ( ) (ln ) 1 11 x x x y x x x ′ = + + + + . (2) 方程两边 5 次方后取对数, 得 1 2 5ln ln( 5) ln( 2) 5 yx x = −− + , 方程两边对 x 求导, 得 2 51 2 5 5( 2) y x y x x ′ = − − + , 5 2 5 2 1 51 2 [ ] 5 5 2 5( 2) x x y y x x x − ′ == − + − + . (3) 方程两边取对数, 得 1 1 2 ln ln ln cos ln( 1) ln( 2) 2 3 y x xx x = + − +− + , 方程两边对 x 求导, 得 2 1 sin 2 1 2 cos 3( 2) 1 y xx yx x x x ′ =− − − + + , 2 3 2 cos 1 2 1 [ tan ] ( 1) 2 2 3( 2) 1 xx x y x x x x x x ′ = −− − + + + + . 3. 设sin( ) ln( ) ts s t t + −= , 求 0 d d t s t = 的值. 解 由方程知 0 1 t s = = , 方程两边对t 求导, 得
将s=1代入,得 4.求下列参数方程所确定的函数的导数少 x=1( 1) x=ln(1+12) 解(1)dx dy dt cost-Isint dx 1-sint-I cost 山山 1+t2 5.求曲线{x=c1,在=对应点处的切线的斜率 dy 解d_de(os-smp_(cost-sint将t飞代入,得曲线在t=对应 dxdx e(cost +sint)(cost + sint 点处的切线的斜率为√3-2
3 1 cos( )( ) 1 s ts s ts s t ′ − + ′ + = − , 将 0 1 t s = = 代入, 得 0 d 1 d t s t = = . 4. 求下列参数方程所确定的函数的导数 d d y x : (1) (1 sin ), cos ; x t t yt t ⎧ = − ⎨ ⎩ = (2) 2 ln(1 ), 1 arctan . x t y t ⎧⎪ = + ⎨ ⎪⎩ = − 解 (1) d d cos sin d d 1 sin cos d d y y tt t t x x tt t t − = = − − . (2) 2 2 d 1 d 1 d 1 d 2 d 2 d 1 y y t t x x t t t t − + = = =− + . 5. 求曲线 e sin , e cos , t t x t y t ⎧⎪ = ⎨ ⎪⎩ = 在 π 3 t = 对应点处的切线的斜率. 解 d d e (cos sin ) (cos sin ) d d (cos sin ) d e (cos sin ) d t t y y tt tt t x x t t t t t − − == = + + , 将 π 3 t = 代入, 得曲线在 π 3 t = 对应 点处的切线的斜率为 3 2 −