§8复系数和实系数多项式的因式分解 复系数多项式因式分解定理 代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一个根 利用根与一次因式的关系,代数基本定理可以等价地叙述为 每个次数≥1的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式由此可知,在复数 域上所有次数大于1的多项式都是可约的换句话说,不可约多项式只有一次多 项式于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成: 复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积 因此,复系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x-a1)(x-a2)2…(x-a, 其中a1,a2,…a,是不同的复数,l1,l2…l是正整数标准分解式说明了每个n次 复系数多项式恰有n个复根(重根按重数计算 二、实系数多项式因式分解定理 对于实系数多项式,以下事实是基本的:如果a是实系数多项式f(x)的复 根,那么a的共轭数a也是f(x)的根并且a与a有同一重数即实系数多项式的 非实的复数根两两成对 实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可 以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积实数域上 不可约多项式除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式 因此,实系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x-c1)(x-c2)2…(x-c,)(x2+p1x+q1)…(x2+p,x+q,) 其中c1…c,P1…Pq1…q,全是实数,l,l2…l,k1…k,是正整数,并且 2+p,x+q(=1,2,…,r)是不可约的,也就是适合条件p2-4q,<0,=1,2,…,r 代数基本定理虽然肯定了n次方程有n个复根,但是并没有给出根的一个具 体的求法高次方程求根的问题还远远没有解决特别是应用方面,方程求根是一 个重要的问题,这个问题是相当复杂的,它构成了计算数学的一个分支
§8 复系数和实系数多项式的因式分解 一、 复系数多项式因式分解定理 代数基本定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为： 每个次数 1 的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数 域上所有次数大于 1 的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多 项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域上都可 以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式具有标准分解式 s l s l l n f (x) a (x ) (x ) (x ) 1 2 = −1 − 2 − 其中 s , , , 1 2 是不同的复数， s l ,l , ,l 1 2 是正整数.标准分解式说明了每个 n 次 复系数多项式恰有 n 个复根（重根按重数计算）. 二、实系数多项式因式分解定理 对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果 是实系数多项式 f (x) 的复 根，那么 的共轭数 也是 f (x) 的根,并且 与 有同一重数.即实系数多项式的 非实的复数根两两成对. 实系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的实系数多项式在实数域上都可 以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上 不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式. 因此，实系数多项式具有标准分解式 s r k r r l k s l l f (x) an (x c ) (x c ) (x c ) (x p x q ) (x p x q ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 = − − − + + + + 其中 s p pr q qr c , ,c , , , , , , 1 1 1 全是实数， s l ,l , ,l 1 2 , r k , ,k 1 是正整数，并且 ( 1,2, , ) 2 x p x q i r + i + i = 是不可约的，也就是适合条件 p q i r i i 4 0, 1,2, , 2 − = .. 代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个复根，但是并没有给出根的一个具 体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一 个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支
、n次多项式的根与系数的关系. f(x)=x"+a1x"+…+a 是一个n(>0)次多项式,那么在复数域C中f(x)有n个根a1a2,…,an,因而在 C[x中f(x)完全分解为一次因式的乘积 f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an) 展开这一等式右端的括号合并同次项然后比较所得出的系数与(1)式右端的系 数得到根与系数的关系 (a1+a2+…+an) a,=(a,,+a,a,+.+a-a,), a3=-(a, a2a,+a,a2 a4++am-am-am) (-1)(a1a2…an1+a1a3…an+…+a an=(-1)"a1a2…an 其中第k(k=1,2,…,n)个等式的右端是一切可能的k个根的乘积之和,乘以(-1) 若多项式 f(x)=aox"+a,"+.+a 的首项系数a0≠1,那么应用根与系数的关系时须先用a0除所有的系数这样做多 项式的根并无改变这时根与系数的关系取以下形式 a1a2+a13+…+an-1n (-1)"a1 利用根与系数的关系容易求出有己知根的多项式 例1求出有单根5与2,有二重根3的四次多项式 例2.分别在复数域和实数域上分解x"-1为标准分解式
三、 n 次多项式的根与系数的关系. 令 ( ) . 1 1 n n n f x = x + a x + + a − (1) 是一个 n (>0)次多项式,那么在复数域 C 中 f (x) 有 n 个根 , , , , 1 2 n 因而在 C[x] 中 f (x) 完全分解为一次因式的乘积: ( ) ( )( ) ( ). 1 2 n f x = x − x − x − 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系 数,得到根与系数的关系. ( 1) , ( 1) ( ), ( ), ), ( ), 1 2 1 2 1 1 3 2 3 1 1 3 1 2 3 1 2 4 2 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n a a a a a = − = − + + + = − + + + = + + + = − + + + − − − − − （ − 其中第 k(k = 1,2, ,n) 个等式的右端是一切可能的 k 个根的乘积之和,乘以 k (−1) . 若多项式 n n n f x = a x + a x + + a ( ) 0 1 −1 的首项系数 1, a0 那么应用根与系数的关系时须先用 0 a 除所有的系数,这样做多 项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式: ( 1) . , ( ), 1 2 0 1 2 1 3 1 0 2 1 2 0 1 n n n n n n a a a a a a = − = + + + = − + + + − 利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式. 例 1 求出有单根 5 与-2,有二重根 3 的四次多项式. 例 2. 分别在复数域和实数域上分解 −1 n x 为标准分解式