§4多项式的最大公因式 、多项式的最大公因式 如果多项式(x)既是f(x)的因式,又是g(x)的因式,那么(x)就称为f(x) 与g(x)的一个公因式 定义6设f(x)与g(x)是Px中两个多项式,Px]中多项式d(x)称为 f(x),g(x)的一个公因式,如果它满足下面两个条件: 1)d(x)是f(x)与g(x)的公因式; 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如,对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式特别 地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0. 引理如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立,那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式 定理2对于P[x]的任意两个多项式f(x),g(x),在P[x中存在一个最大公 因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合,即有P[x中多项式u(x),v(x) 使 d(x=u(xf(x)+v(x)g(x) 由最大公因式的定义不难看出,如果d1(x),d2(x)是f(x),g(x)的两个最大 公因式,那么一定有d(x)|d2(x)与d2(x)d1(x),也就是说d1(x)=cd2(x),c≠0 这就是说,两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式在这个情形, 我们约定,用 (f(x),g(x)) 来表示首项系数是1的那个最大公因式
§4 多项式的最大公因式 一 、多项式的最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 6 设 f (x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ， g(x) 的一个公因式,如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 例如，对于任意多项式 f (x) ， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式.特别 地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x) ，r(x) 有相同的公因式. 定理 2 对于 P[x] 的任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在 P[x] 中存在一个最大公 因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . (2) 由最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) ， g(x) 的两个最大 公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ，也就是说 d1 (x) = cd2 (x),c 0 . 这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形， 我们约定，用 （ f (x) ， g(x) ） 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法( division algorithm) 例设 f(x)=x2+3x3-x2-4x-3 g(x)=3x3+10x2+2 求(f(x),g(x),并求u(x),v(x)使 d(x)=u(xf(x)+v(xg(x) 注:定理2的逆不成立例如令 ∫(x)=x,g(x)=x+1, 则 x(x+2)+(x+1)(x-1)=2x2+2x-1. 但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式 但是当(2)式成立,而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式,则d(x)一定是f(x) 与g(x)的一个最大公因式 二、多项式互素 定义7P[x中两个多项式∫(x),g(x)称为互素(也称为互质)的,如果 (f(x),g(x)=1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦 然. 定理3P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有P[x中多项式 l(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 定理4如果(f(x),g(x)=1,且∫(x)|g(x)h(x),那么 f(x) h(x)
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求（ f (x) ， g(x) ），并求 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 注：定理 2 的逆不成立.例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 二、多项式互素 定义 7 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素（也称为互质）的，如果 ( f (x), g(x)) = 1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦 然. 定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 互素的充要条件是有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1. 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) = 1 ，且 f (x) | g(x)h(x) ,那么 f (x) | h(x)
推论1如果f(x)|g(x),f(x)|g(x),且(f(x),f2(x)=1,那么 f(xf,(x)1g(x) 推论2如果(f(x)g(x)=1,(2(x),g(x)=1,那么(f(x)2(x)g(x)=1 推广:对于任意多个多项式f(x),f2(x)…,f,(x)s≥2),d(x)称为 f(x),f2(x).…f,(x)s≥2)的一个最大公因式,如果d(x)具有下面的性质: 1)d(x)|J∫(x),i=1,2,…,s 2)如果q(x)f(x)i=1,2,…,s,那么(x)|d(x) 我们仍用(f(x),f2(x),…,f,(x)符号来表示首项系数为1的最大公因式不 难证明f1(x),2(x)…,f(x)的最大公因式存在,而且当f(x),f2(x)…,f(x)全不 为零时, (1(x),f2(x),…,f3=1(x),f3(x) 就是f(x),f2(x)…,f(x)的最大公因式,即 (f1(x),f2(x),…,f,(x)=(1(x),/2(x)…,f1(x),f(x) 同样,利用以上这个关系可以证明,存在多项式u1(x)i=1,2,…,s,使 l1(x)f1(x)+l2(x)2(x)+…+2(x)f,(x)=(f1(x),f2(x)…,f,(x) 如果(f(x),f2(x)…,f(x)=1,那么∫f(x),f2(x)…,f,(x)就称为互素的.同 样有类似定理3的结论 注意1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如x2-11(x+1)2(x-1)2,但x2-1(x+1)2,且 2)推论1中没有互素的条件,则不成立.如g(x)=x2-1,f(x)=x+1, f(x)=(x+1)x-1),则f(x)|g(x),f2(x)lg(x),但f1(x)/2(x)lg(x) 注意:s(s≥2)个多项式f1(x),2(x)…,f(x)互素时,它们并不一定两两互
推论 1 如果 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1,那么 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 推论 2 如果 ( f 1 (x), g(x)) =1, ( f 2 (x), g(x)) =1,那么 ( f 1 (x) f 2 (x), g(x)) =1 推 广 ： 对 于 任 意 多 个 多 项 式 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s ， d (x) 称 为 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s 的一个最大公因式，如果 d (x) 具有下面的性质： 1） d x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ; 2）如果 x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ，那么 (x) | d(x) . 我们仍用 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s 符号来表示首项系数为 1 的最大公因式.不 难证明 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式存在，而且当 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 全不 为零时， (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 就是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式，即 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s = (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式 u x i s i ( ), =1,2, , ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 1 2 2 1 2 u x f x u x f x u x f x f x f x f x + ++ s s = s 如果 ( f 1 (x), f 2 (x), , f s (x)) = 1 ，那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 就称为互素的.同 样有类似定理 3 的结论. 注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如 2 2 2 x −1| (x +1) (x −1) ,但 2 2 x −1 | (x +1) ,且 2 2 x −1 | (x −1) . 2) 推论 1 中没有互素的条件,则不成立.如 ( ) 1 2 g x = x − , f 1 (x) = x +1, ( ) ( 1)( 1) f 2 x = x + x − ,则 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ,但 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 注意: s (s 2) 个多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 互素时,它们并不一定两两互
素.例如,多项式 f(x)=x2-3x+2,f2(x)=x2-5x+6,f3(x)=x2-4x+3 是互素的,但(f(x),f(x)=x-2 令P是含P的一个数域,d(x)是Px的多项式f(x)与g(x)在P[x]中的首 项系数为1的最大公因式,而d(x)是f(x)与g(x)在PX]中首项系数为1的最大 公因式,那么d(x)=d(x) 即从数域P过渡到数域P时,f(x)与g(x)的最大公因式本质上没有改变 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形 1)若多项式l(x)|f(x)f2(x)…f(x),h(x)与f(x),…,f1(x),f1(x),…,f,(x) 互素,则h(x)|∫;(x)1≤i≤s) 2)若多项式f(x),f2(x)…,f,(x)都整除h(x),且f(x),f2(x)…,f(x)两两 互素,则f(x)2(x)…f(x)h(x) 3)若多项式f(x),f2(x)…,f(x)都与hx)互素,则 f(x)/2(x)…f,(x),h(x)=1
素.例如,多项式 ( ) 3 2 , ( ) 5 6 , ( ) 4 3 2 3 2 2 2 f 1 x = x − x + f x = x − x + f x = x − x + 是互素的,但 ( f 1 (x), f 2 (x)) = x − 2. 令 P 是含 P 的一个数域, d (x) 是 P[x] 的多项式 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中的首 项系数为 1 的最大公因式,而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 在 P[X ] 中首项系数为 1 的最大 公因式,那么 d(x) = d(x). 即从数域 P 过渡到数域 P 时, f (x) 与 g(x) 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形： 1)若多项式 ( ) | ( ) ( ) ( ), 1 2 h x f x f x f x s h(x) 与 ( ), , ( ), ( ), , ( ) 1 1 1 f x f x f x f x i− i+ s 互素，则 h(x) | f (x)(1 i s) i . 2) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都整除 h(x) ，且 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 两两 互素，则 ( ) ( ) ( ) | ( ) 1 2 f x f x f x h x s . 3) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都与 h(x) 互素，则 ( f 1 (x) f 2 (x) f s (x), h(x)) =1