第六节函数的微分 习题2-6 1.已知y=x3-x,计算在x=2处当Ax分别等于1、0.1、0.01时的Ay及dy x=3x2Ax+3x(△x) Ay-2=01=161,d=2=1=11 Ax=001 0110601,d 2,△x=0.01 2.设函数y=f(x)的图形如下图所示,试在下面的图(a)、(b)、(c)、(d)中分别 标出在点x处的dy,y及△y-dy,并说明其正负 y=f(x) =f( x+△x +△rx 图2.1(a) 图2.1(b) =f(x) Ro xo 图2.1(c) 图2.1(d)
1 第六节 函数的微分 习 题 2-6 1. 已知 3 yx x = − , 计算在 x = 2 处当 Δx 分别等于 1、0. 1、0. 01 时的 Δy 及dy . 解 3 3 2 23 Δ = +Δ − +Δ − − = Δ + Δ + Δ −Δ y x x x x x x xx xx x x ( ) ( ) 3 3( ) ( ) , 2 d 3 y xx x = Δ −Δ , 2, 1 2, 1 18, d 11 xx xx y y = Δ= = Δ= Δ= = , 2, 0.1 2, 0.1 1.161, d 1.1 xx xx y y = Δ= = Δ= Δ= = , 2, 0.01 2, 0.01 0.110601, d 0.11 xx xx y y = Δ= = Δ= Δ= = . 2. 设函数 y fx = ( ) 的图形如下图所示, 试在下面的图(a)、(b)、(c)、(d)中分别 标出在点 0x 处的d , y y Δ 及 Δ −y yd , 并说明其正负. 图 2.1 (a) 图 2.1 (b) 图 2.1 (c) 图 2.1 (d) O y 0x 0x + Δx y fx = ( ) x y x 0x 0x + Δx y fx = ( ) O y fx = ( ) y x 0x 0 O x + Δx y fx = ( ) 0x 0 O x + Δx x y
解(a)如下图所示,dy>0,4y>0,△y-dy>0 =f(x) Ay xx0+△x 图22(a) (b)如下图所示,dy>0,Ay>0,△y-dy0 y=f(x) Ay-dy 图22(d
2 解 (a) 如下图所示, d 0, 0, d 0 y y yy > Δ> Δ− > . 图 2.2 (a) (b) 如下图所示, d 0, 0, d 0 y y yy > Δ> Δ− . 图 2.2 (d) y x 0x 0x + Δx y fx = ( ) O dy Δy y − d Δy dy y x0 x 0 x + Δx y fx = ( ) O dy y − Δ Δy y x 0x 0x + Δx y fx = ( ) O dy y − Δ −Δy −dy y fx = ( ) −Δy 0x 0 O x + Δx x y Δy y − d −dy
3.求下列函数的微分 (3)y=arctan +r (4)s=Asin(ot+g)(A,O,q)是常数 解(1)d x2+1 x2+1 (2) dy=[e cos(3-x)+e sin(3-x)dx=e [sin(3-x)-cos(3-x)]dx 11-x+1+x (3)dy= dx dx (4) ds= Ao cos(ot + )dr 4.求下列函数在指定点的微分 (1)y=2 1 2Inx (2)d1x 2sin x cos xsin 2x-2(1+sin x)cos2x 2x-2(1+sin"x)cos2 dx dx 5.求方程sin(xy)-ln-=1所确定的隐函数y在点x=0处的微分dy 解x=0时,y=e.方程两边求微分,有 cos(xy )(xdy+ ydx) x+1 将x=0,y=e代入上式得dv-0=1-ed 6.利用一阶微分的形式不变性,求下列函数的微分 (1)y=n(cos√x) (2)y=f( arctan-),其中f(x)可导
3 3. 求下列函数的微分: (1) 2 1 x y x = + ; (2) e cos(3 ) x y x − = − ; (3) 1 arctan 1 x y x + = − ; (4) sin( ) ( , , ) sA t A = ω +ϕ ωϕ 是常数. 解 (1) 2 2 d 1 d d( ) 1 1 x y x x x = + + + 2 23 23 d12 1 d d 2 1 ( 1) ( 1) x x x x x xx x =− = ++ + . (2) d [ e cos(3 ) e sin(3 )]d e [sin(3 ) cos(3 )]d xx x y x xx x xx −− − =− − + − = − − − . (3) 2 2 2 111 1 d dd 1 (1 ) 1 1( ) 1 x x y xx x x x x − ++ = = + − + + − . (4) d cos( )d s = + A tt ω ω ϕ . 4. 求下列函数在指定点的微分: (1) 2 ln , 1 x y x x = = ; (2) 2 1 sin π , sin 2 6 x y x x + = = . 解 (1) 3 3 1 1 2ln d ( )d , d d x x y xy x x x = =− = . (2) 2 π 2 6 π 6 2sin cos sin 2 2(1 sin )cos2 d d sin 2 x x xx x x x y x x = = − + = 2 2 2 π 6 sin 2 2(1 sin ) 2 2 d d sin 2 3 x x x cos x x x x = − + = =− . 5. 求方程 1 sin( ) ln 1 x xy y + − = 所确定的隐函数 y 在点 x = 0 处的微分dy . 解 x = 0 时, e y = . 方程两边求微分, 有 2 d ( 1)d cos( )( d d ) 0 1 y yx x y xy x y y x x y − + + − = + , 将 x = 0 , e y = 代入上式得 0 d e(1 e)d x y x = = − . 6. 利用一阶微分的形式不变性, 求下列函数的微分: (1) y x = ln(cos ) ; (2) 1 y f (arctan ) x = , 其中 f ( ) x 可导
解(1)dy d(o d √x (2) dy=f(arctan -)d(arctan -)=f(arctan d(-) f(arctan -) r+I (arctan -)dx 7.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立 (1)d()=e-dx 2)d()=sec23xdx 解(1)d(-c-x+C)=e-d (2) d(tan 3x +C)=sec 3xdx 8.求下列导数 (1) 解(1)d(x° )d 3x4-2x2+1 d(x) d(x2) sinx d sinx 1 COSx =-cotr COSx 9.证明当冈很小时,下列近似式成立 证若y=f(x)在x=0处的导数f(0)≠0,则当x很小时 4y=f(x)-f(0)≈dy=f(0)x=f(0)x, 从而 x)≈f(0)+f( (1)取f(x)=+x,当很小时,由式子f(x)≈fO)+f(0)x可知
4 解 (1) 1 1 d d(cos ) ( sin )d cos cos y x xx x x = =− 1 tan tan d d 2 2 x x x x x x =− =− . (2) 2 1 1 11 1 d (arctan )d(arctan ) (arctan ) d( ) 1 1 () yf f x x xx x = = ′ ′ + 2 2 2 11 1 1 1 (arctan ) ( )d (arctan )d 1 1 1 () f xf x x x x x x = − =− ′ ′ + + . 7. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d( ) 2 e dx x − = ; (2) d( ) 2 = sec 3 dx x . 解 (1) 1 2 d( e ) 2 x C − − + 2 e dx x − = . (2) 1 d( tan 3 ) 3 x + C 2 = sec 3 dx x . 8. 求下列导数: (1) 642 2 d( ) d( ) x x x x − + ; (2) dsin d cos x x . 解 (1) 642 642 5 3 4 2 2 2 d( ) d( ) 1 6 4 2 321 d( ) d( ) d 2 d xxx xxx x x x x x x x x x x −+ −+ − + = = =−+ . (2) dsin dsin 1 cos cot d cos d sin d cos d xx x x xx x x x = = =− − . 9. 证明当 x 很小时, 下列近似式成立: (1) 1 1 n x x n + ≈+ ; (2) ln(1 ) + x ≈ x . 证 若 y fx = ( ) 在 x = 0 处的导数 f ′(0) 0 ≠ , 则当 x 很小时, Δ= − ≈ = Δ= y fx f y f x f x ( ) (0) d (0) (0) ′ ′ , 从而 f ( ) (0) (0) xf f x ≈ + ′ . (1) 取 () 1n f x x = + , 当 x 很小时, 由式子 f ( ) (0) (0) xf f x ≈ + ′ 可知
+X≈1+ (2)取∫(x)=lm(1+x),当很小时,由式子f(x)≈f(0)+f(0)x知 10.设圆扇形的圆心角a=60°,半径R=100cm.如果R不变,a减少30′,问 扇形面积大约改变了多少?又如果a不变,R增加lcm,问扇形面积大约改变了多 解扇形面积公式为S=“R2.如果R不变,则dS=Eda,所以a=60, R=100m.da=60=2时,相应的d=720100=4363m 如果a不变,则dS=2a dR,所以a=60,R=100cm,dR=1时,相应的 ds 100t ≈104.72cm 11.计算下列函数值的近似值 (1)tan 13 (2)105 (1) tan 136 tan(35 +1)= tan 135 +sec- I 1≈-0.96509 (2)√.05=√1+005≈1+005=1025 2.计算球形体积时,要求精确度在2%以内,问这时测量直径D的相对误差 不能超过多少? 解球体积公式为V=LxD3,所以 从而 时, 13.某厂生产如图24所示的扇形板,半径 R=200mm,要求中心角a为55°产品检验时,一般用测 量弦长l的方法来间接测量中心角a,如果测量弦长l时的 误差6=0.1mm,问由此而引起的中心角测量误差δ是多 图24
5 1 1 n x x n + ≈ + . (2) 取 f ( ) ln(1 ) x x = + , 当 x 很小时, 由式子 f ( ) (0) (0) xf f x ≈ + ′ 知, ln(1 ) + x ≈ x . 10. 设圆扇形的圆心角α = 60D , 半径 R =100cm . 如果 R 不变, α 减少30′ , 问 扇形面积大约改变了多少? 又如果α 不变, R 增加1cm , 问扇形面积大约改变了多 少? 解 扇形面积公式为 2 π 360 S R α = . 如果 R 不变, 则 2 π d d 360 R S = α , 所以α = 60 , R =100cm , 30 1 d 60 2 α = = 时, 相应的 1 2 2 d π100 43.63cm 720 S = ≈ . 如果α 不变, 则 2π d d 360 R S R α = , 所以α = 60 , 100cm R = , d 1 R = 时, 相应的 100π 2 d 104.72cm 3 S = ≈ . 11. 计算下列函数值的近似值: (1) tan136D ; (2) 1.05 . 解 (1) 2 π tan136 tan(135 1 ) tan135 sec 135 1 0.96509 180 = + ≈ + ⋅ ⋅ ≈− D DD D D . (2) 1 1.05 1 0.05 1 0.05 1.025 2 1 = + ≈+ = . 12. 计算球形体积时, 要求精确度在 2% 以内, 问这时测量直径 D 的相对误差 不能超过多少? 解 球体积公式为 1 3 π 6 V D = , 所以 1 2 d π d 2 V DD = , d d 3 V D V D = , 从而 d 2% V V = 时, d 2 % 3 D D = . 13. 某厂生产如图 2.4 所示的扇形板 , 半 径 R = 200mm , 要求中心角α 为 55D . 产品检验时, 一般用测 量弦长l 的方法来间接测量中心角α , 如果测量弦长l 时的 误差δ l = 0.1mm , 问由此而引起的中心角测量误差 a δ 是多 少? l α R 图 2.4
解中心角a与弦长l之间的关系为:sin=,方程两边求微分,得 22R 即d 将R=200,a21809=0.1代入,得n=da≈0005ad)
6 解 中心角α 与弦长l 之间的关系为: sin 2 2 l R α = , 方程两边求微分, 得 1 d cos d 22 2 l R α α = , 即 d d cos 2 l R α α = , 将 55 200, π , d 0.1 180 R l = = ⋅ == α δ l 代入, 得 d 0.00056(rad) α δ α = ≈
