第一章绪论 习题 1.设x>0,x*的相对误差为8,求f(x)=1nx的误差限。 解:求1nx的误差极限就是求f(x)=1nx的误差限,由公式 (1.2.4)有 5f(x)fx)-fx)千x改时f(x)16(x) 已知x*的相对误差8满足x158,而 f(x)=lnz,f(x)=-x-x*≤(x*)=z.1×*1 故 lxx+x+二|x-x+ Ix-xI x*|-(x+) 即如x-12118 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有 几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 x1=1.1021,x2=0.031,x3=560.40 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 x有5位有效数字,其误差限3(20,相对误差限 b(x2)≤×10 x有2位有效数字 (x2≤×101 x有5位有效数字, (x3)≤×10-2,5,(x3)≤10 3.下列公式如何才比较准确? M+11 aix,M≥1 (1)1+ (2) x2
第一章 绪论 习题一 1.设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。 解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式 (1.2.4)有 已 知 x* 的相对误差 满 足 ， 而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有 5 位有效 数字，其 误差限 ， 相对误 差限 有 2 位有效数字， 有 5 位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换 所给公式。 ax=arc tan(N+1)-arc tanN x十 (2) 4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。 5计算f=(2-取214,利用:(+22式计算误差最小。 (3-2√2)3, 70√2 四个选项 +1)6 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定f(x)=lm的数值表 -0.916291 693147 -0.510826 0.356675 用线性插值与二次插值计算1n0.54的近似值并估计误差限 解:仍可使用n=1及n=2的 Lagrange插值或 Newton插值, 并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点, 用 Newton插值 hn0.548-0.693147+0.510826+0.693147 (0.54-0.5)=-0.620219 0.6-0.5 误差 限5Mx-050x-06 因
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。 （1） （2） 4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算 取 ，利用 ： 式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定 的数值表 用线性插值与二次插值计算 ln0.54 的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值, 并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点， 用 Newton 插值 误差限 ， 因
f(x)=Inx, f(x) M 2:2=05×06 故 风(x)5×4×004×006=009 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次 Newton插值 ln0.54≈-0.620219+[0.5,0.6,0.7 (0.54-0.5)(0.54-0.6=-0.620219+(-1.40850)×0.04×(-0.06)=-0.616839 误 差 限 风2(x)5M3Kx-05x-06x-0列 2M3=0x507 2 x/=16 故 R2(对)≤×16×004×06×016≤0001024 2.在-4≤x≤4上给出()=的等距节点函数表,若用二次 插值法求e的近似值,要使误差不超过0,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8),n=2,f(x)=e,f"(x)=e Ifw(xil 4xg4(x)-2(x)=4x43|x x+(x-x1)(x-x)(x-x) 令列5x5x,=再一不,不1=再一,万=万+h 21 因 x-x-1(x-x)(x-x =55h<10 Eye 10,≤0.0066
，故 二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton 插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4 上给出 的等距节点函数表，若用二次 插值法求 的近似值，要使误差不超过 ，函数表的步长 h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得
3.若f()=x2+x+3x+1,求[20,2…,212,2…291 解:由均差与导数关系 x,x,…,人、 f(x)=x+x4+3x+1,f/((x)=71,(x)=0 于是 f[20,21…,21]=×7=1,2,21…,23]=0 4.若f(x)=a1+(x)=(x-列(x-)…(x-x(=0…1互异,求 xo…,的值,这里p≤n+1 解:()=an(,f(x)=0=0…n),由均差对称性 几x不“4=20(可知当有几而再…,列]=0 而当P=n+1时 ,x…xx1]=∑f(x)an)≈fm1)=1 升x0,…,1)=0,P≤n 于是得 1,P=n+1 ∑42y=4y,-4y0 5.求证x 解:解:只要按差分定义直接展开得 -0 =y2-△yo
3. 若 ，求 和 . 解：由均差与导数关系 于是 4. 若 互异，求 的值，这里 p≤n+1. 解 ： ， 由 均 差 对 称 性 可知当 有 而当 P＝n＋1 时 于是得 5. 求证 . 解：解：只要按差分定义直接展开得
6.已知f)=hx的函数表 30 f*i 0.20134 0.30452 0.52110 求出三次 Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差 解:根据给定函数表构造均差表 f(x)-阶均差二阶均差「三阶均差 0.200.201341.0067 0.300.304521.03180.08367 0500.521121.080 0.17067 0.17400 由式(5.14)当n=3时得 Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 风3(023=[x0,x1,x2,x20.23a4(023 由于x,x1,x2,,023]1003133 R32023≤0033023×003×007×027≤432×10° 7.给定f(x)=cosx的函数表 0.3 0.6 f(*i 1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534
6. 已知 的函数表 求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7. 给定 f(x)=cosx 的函数表
用 Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近 似值并估计误差 解:先构造差分表 f(x;) 4(V2(V243(V32(4(V 00000 0,00500 0.99500 0.009 -0.01493 0.98007 0.00980 0.00012 -0.02473 0.00025 -0.00002 0.95534 0.00955 0.00010 0.03428 0.00035 0.00001 0.92106 0.00920 0000g 0.04348 9,0522 [Q85284 计算 cos0.048,x=0.048,k=0.1,t= X 0.48 ,用n=4得 Newton前插 公式 1(x0=2)=6+462+4(-D+领 t(t-1(-2)+=0t(t-1)(t-2)(t-3 2 4 1.0000+048-0.00500-0.521 2-1.52/000013 0.00993 252×0012 误差估计由公式(5.17)得 R4008)1≤42(-1)(-2)(2-3(-4≤15845×107 其 中M5=in0.6=0.565 计算cs0566时用 Newton后插公式 (5.18)x=056060t
用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos 0.566 的近 似值并估计误差 解：先构造差分表 计算 ，用 n=4 得 Newton 前插 公式 误差估计由公式（5.17）得 其中 计 算 时 用 Newton 后插公式 （5.18)
co0.5660M(x+1)=6+Va+(+1)+-2t(+1(+2)+≤< t(t+1)(t+2)(t+3) =082534-034×-005224+0.66x(-0006+166×1 0.00044266 0.00009 0.84405 误差估计由公式(5.19)得 M 风4(0566-≤23( t+1)(+2)(+3(+4)2≤17064×10 这里仍为0.565 8.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 p0=p(0=0,p(1)=p(1)=1,p(2)= 解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处 可先造3(x使它满足 P20)=0,23()=p2()=1,显然2(x)=x(2-x),再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由p(2)=1求出A=,于是 p(x)=x(2-x+1(x-131=12(x-32 9.令 ()-1r,、(n20称为第二类 Chebyshev多项式试 求的表达式,并证明是[-1,1]上带权-1x的正交 多项式序列。 解:因21(x)=c(2+1) arccos x
误差估计由公式（5.19）得 这里 仍为 0.565 8． 求一个次数不 高于四次的多项 式 p(x), 使它满足 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处 可先造 使它满足 ，显然 ，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是 9. 令 称为第二类 Chebyshev 多项式，试 求 的表达式，并证明 是［-1,1］上带权 的正交 多项式序列。 解：因
n+121(x)=9(n+1acox 令x=cos日 ∫4(x,(03-x=”:(+9m(m+1B n≠ =22 10.用最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式,使它拟合 下列数据,并计算均方误差 19.0323490733978 解:本题给出拟合曲线=a+bx2,即%x)=1吗(x)=x,故法方 程系数 (qq)=∑听(x)=5 (,q)=2=532吗)=∑呀=7277699 (卿y)=2y1=2714(吗,y)=∑明y=3693215 法方程为 a+5327b=2714 5327a+7277699b=369321.5 解得a=09726045.b=050051 最小二乘拟合曲线为y=09726045+0050051x2 均方程为 =Dv-(gy)-b(1y)=00150321 ib 0.1226
10. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它拟合 下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线 ，即 ，故法方 程系数 法方程为 解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为
11.填空题 (1)满足条件0-11(1)(的插值多项式 p(x)=(). (2)f-2+5,则f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5] (3)设x=0234为互异节点,x为对应的四次插值基函 数,则 (x+2)2(x) (4)设(x)=0是区间[0,1]上权函数为p(x)=x的 最高项系数为1的正交多项式序列,其中吗()-1,则x( (),吗2(x)=() 答 (1)2(x)=(2x+1)(x-1 (2)J1234]=212.34,5=0 ∑0=0∑(x+21(x)=x+2 (3) Jo xpE(x)dx 0.k≠0 63 第4章数值积分与数值微分 习题4
11. 填空题 (1) 满 足 条 件 的插值多项式 p(x)=( ). (2) ,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］ =( ). (3) 设 为互异节点， 为对应的四次插值基函 数，则 ＝( )， ＝( ). (4) 设 是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的 最高项系数为 1 的正交多项式序列，其中 ，则 ＝( )， ＝( ) 答： （1） （2） （3） （4） 第 4 章 数 值 积 分与数值微分 习题 4
1.分别用复合梯形公式及复合 Simpson公式计算下列积分 dx.n=8 4+ 解本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合 Simpson 公式(6.13)直接计算即可。 对(=4+x,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。 按式(6.11)求出7=01404,按式(6.13)求得4=0111724 积分2=4+x=0117 2.用 Simpson公式求积分“,并估计误差 解:直接用 Simpson公式(6.7)得 。e= =0.63233 由(68)式估计误差,因(x)=∵“()=,故 ≤3.5×10 180 18016 3.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量 高,并指明求积公式所具有的代数精确度 (1)5(dx4(0)+B(x)+(0 (2)2(xxAJ()+4(0)+A1() (3)J,f(x)dx s Af(-h)+Bf(x1) 解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式 的参数。 (1)令f(x)=1x,x代入公式两端并使其相等,得
1. 分别用复合梯形公式及复合 Simpson 公式计算下列积分. 解 本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合 Simpson 公式（6.13）直接计算即可。 对 ，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。 按式（6.11）求出 ，按式（6.13）求得 ， 积分 2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得 由（6.8）式估计误差，因 ，故 3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度. (1) (2) (3) 解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式 的参数。 （1）令 代入公式两端并使其相等，得