习题课 第九章 重积分的计算及应用 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 Q团p
习题课 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第九章 重积分的计算及应用
、重积分计算的基本方法 累次积分法 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2.选择易计算的积分序 积分域分块要少,累次积分易算为妙 3.掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法(从内到外:面、线、点) Q团p
一、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙. 图示法 列不等式法(从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法
练习 P1242(3);6;7(1),(③3) 补充题: 计算积分(x+y)d,其中D由y2=2 x+y=4,x+y=12所围成 解答提示:(接下页) Q团p
练习 计算积分 其中D 由 所围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页)
P|242计算二重积分n2-x2-y2da, 其中D为圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域 提示:利用极坐标 Osr<rcos e rcos e <6< D x rcos 6 原式=2dO R r d1 R(1-sino)do R(丌 Q团p
2(3).计算二重积分 其中D为圆周 所围成的闭区域. 提示:利用极坐标 r = Rcos 原式 = − 2 0 3 3 (1 sin )d 3 2 R y D R x o D : 0 r Rcos 2 2 − P124
P1246把积分(xy.dyx:化为三次积分 其中由曲面=x2+y2,y=x2及平面y=1,z=0 所围成的闭区域 提示:积分域为 0≤z≤x+12 g2:{x2≤y≤1 1<x<1 原式=」jay」∫(xy 0 Q团p
6.把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示: 积分域为 : 原式 + 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z 及平面 1 2 d x y − = 1 1 dx 所围成的闭区域 . P124
P1247().计算积分Q2dy其中2是两个球 x2+y2+z≤R2及x2+y2+z2≤2Rz D (R>0)的公共部分 r R 提示:由于被积函数缺xy, 利用“先二后一”计算方 便 R 0 2z(2Rz-=2)d+k=2x(R2-=2)d 59 丌R3 480 Q团p
D1z D 2 z 7(1).计算积分 其中是两个球 (R>0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺x, y, 原式= D z x y 1 d d z Rz z z R (2 )d 2 0 2 2 = − 利用“先二后一” 计算方 便. z z R d 2 0 2 D z x y 2 z z d d R R d 2 2 + z R z z R R ( )d 2 2 2 2 + − 5 480 59 = R R z y x o 2 R P124
P147(3)计算三重积分。(2+=2)d其中9是由 xOy平面上曲线y2=2绕x轴旋转而成的曲面与平面 x=5所围成的闭区域 x三x 提示:利用柱坐标{y=rcos z=sine y r2<x≤5 X C:0≤r≤√10 0<6<2丌 原式d03 250 Q团p
7(3).计算三重积分 其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域. 提示: 利用柱坐标 sin cos z r y r x x = = = 原式 5 2 2 d r x 绕x轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 r x 0 r 10 0 2 r dr 10 0 3 = 2 0 d 3 250 = : z x y o 5 P124 x = 5
补充题计算积分∫x+y)其中D由y2=2x x+y=4,x+y=12所围成 2 4 提示如图所示D=D2\D1,2 f(x,y)=x+y在D2内有定义且92D、x 连续,所以 (x+y)do=l(x+y D D odo-.(x+y)d ∫dy(x+y)dx-」y2(x+y)dx =543 15 Q团p
补充题.计算积分 其中D 由 所围成. 提示:如图所示 y 2x 2 = 4 2 − 4 − 6 o y x \ , D = D2 D1 f (x, y) = x + y在D2内有定义且 + = D (x y)d + 2 ( )d D x y − + 1 ( )d D x y 连续, 所以 − + y y x y x 12 2 2 ( )d − = 4 6 dy − + y y x y x 4 2 2 ( )d − − 2 4 dy 15 11 == 543 D1 D2 D
二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法 2.利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3.消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4.利用重积分换元公式 练习题 P1231(总习题九);P1244,7(2),9 解答提示:(接下页) Q团p
二、重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P123 1 (总习题九); P124 4, 7(2), 9 解答提示: (接下页)
P1244.证明 d dyetm(a-x)f(x )ax l o(a-x)e mla-x) f(x dx 提示:左端积分区域如图, D 交换积分顺序即可证得 V=x P247(2)求M2、2+1)d,其中9是 O x2+y2+22+1 由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域 提示:被积函数在对称域g上关于为奇函数,利用 对称性可知原式为0 Q团p
− − = − a m a x y m a x a y e f x x a x e f x x 0 ( ) 0 ( ) 0 d ( )d ( ) ( )d 证明: 提示:左端积分区域如图, D o y x y = x a 交换积分顺序即可证得. P124 4. 7(2). d , 1 ln( 1) 2 2 2 2 2 2 v x y z z x y z + + + + + + 求 其中是 1 2 2 2 x + y + z = 所围成的闭区域. 提示:被积函数在对称域上关于z为奇函数, 利用 对称性可知原式为0. 由球面 P124
