数理统计 第二节估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性 小结布置作业
数理统计 第二节 估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性 小结 布置作业
数理统计 X-N(u, 0) 样本均值是否是∥的一个好的估计量? 样本方差是否是2的一个好的估计量? 这就需要讨论以下几个问题: (1)我们希望一个“好的”估计量具有什么特性? (2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”? (3)如何求得合理的估计量?
数理统计 样本均值是否是 的一个好的估计量？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？ 样本方差是否是 2 的一个好的估计量？ 这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (3) 如何求得合理的估计量？ X~N( ) 2 μ,σ
数理统计 估计量的评选标准 在介绍估计量的评选标准之前,我们必须强 调指出: 评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试 验的结果,而必须由多次试验结果来衡量 这是因为估计量是样本的函数,是随机变量.因 此,由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计 值.因此一个好的估计,应在多次试验中体现出优良 性
数理统计 估计量的评选标准 在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强 调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试 验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量 . 因 此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计 值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良 性
数理统计 常用的几条标准是: 1.无偏性 2.有效性 3.相合性 这里我们重点介绍前面两个标准
数理统计 常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性 3．相合性 这里我们重点介绍前面两个标准
数理统计 无偏性 估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到 不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动,而它的期望值等于未知参数的真值这就 导致无偏性这个标准 设6(X,…,Xn)是未知参数O的估计量,若 E(6)=6 则称为6的无偏估计
数理统计 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到 不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就 导致无偏性这个标准 . 一、无偏性 ) = ˆ E( 则称 为 的无偏估计 . ˆ ( , , ) ˆ 设 X1 Xn 是未知参数 的估计量，若
数理统计 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 例如,用样本均值作为总体均值的估计时, 虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随 机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重复使 用不会产生系统偏差
数理统计 例如，用样本均值作为总体均值的估计时， 虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随 机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使 用不会产生系统偏差 . 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差
数理统计 例1设总体X服从参数为0的指数分布,其概 率密度为 ∫(x)=10 ex°,x>0 0,其它, 其中>0为未知,X1,X2,Xn是取自总体的一个样本 试证x和z=min(X1,,Xn)都是参数O的无偏估计 量
数理统计 例1 设总体 X 服从参数为 的指数分布 , 其概 率密度为 ( ) 1 , 0, 0 , x θ e x f x θ − = 其它, 其中θ 0 为未知, θ X1 ,X2 ,…Xn是取自总体的一个样本 , 试证 和 都是参数 的无偏估计 量 . X Z X X = min( , , ) 1 n θ
数理统计 证E(x)=0,E(x)=0 所以X是参数O的无偏估计量.而 z=mn(X1,,Xn)具有概率密度 n nx/0 >0 nlI 0 其它, 故知E(zZ)= ,E(nz)=0 即nz也是参数的无偏估计量
数理统计 证 E X( ) = θ , E X( ) = θ 所以 X 是参数 θ 的无偏估计量 . 而 Z X X = min( , , ) 1 n 具有概率密度 min ( ) , 0, ; 0 , n nx θ e x f x θ θ − = 其它, 故知 ( ) , θ E Z n = E nZ ( ) = θ 即 nZ 也是参数 θ 的无偏估计量
数理统计 个参数往往有不止一个无偏估计,若8和 都是参数e的无偏估计量我们可以比较E(-0) 和E(2-0)的大小来决定二者谁更优 由于D(a)=E(B-0)2 D(2)=E(2-0)2 所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性 这一概念
数理统计 所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性 这一概念 . 的大小来决定二者谁更优 . 2 1 ) ˆ E( − 和 2 ˆ 1 ˆ 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量，我们可以比较 2 2 ) ˆ E( − 2 1 1 ) ˆ ) ( ˆ 由于 D( = E − 2 2 2 ) ˆ ) ( ˆ D( = E −
数理统计 二、有效性 设61=0(X12…,Xn)和2=2(X1…Xn) 都是参数的无偏估计量,若对任意O∈⊙ D(OsD( 0) 且至少对于某个0∈⊙上式中的不等号成立, 则称B较B有效
数理统计 二、有效性 D( ) ≤D( ) 2 ˆ 1 ˆ 则称 较 有效 . 2 ˆ 1 ˆ 都是参数 的无偏估计量，若对任意 ， ( , , ) ˆ 1 X1 Xn ( , , ) ˆ ˆ 1 = 2 =2 X1 Xn ˆ 设 和 θ 且至少对于某个 θ 上式中的不等号成立