哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.4）连续型随机变量及其概率密度

←概率论 第四节连续型随机变量及其 概率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结布置作业

概率论 第四节 连续型随机变量及其 概率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结 布置作业

←概率论 连续型随机变量X所有可能取值充满 个区间,对这种类型的随机变量,不能象离 散型随机变量那样,以指定它取每个值概 率的方式,去给出其概率分布,而是通过 给出所谓“概率密度函数”的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法

概率论 连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概 率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过 给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法

←概率论 连续型随机变量及其概率密度的定义 对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x) x∈(-∞+∞),使得对任意实数x,有 F(x)=/(dt=P(Xsx 则称X为连绪型随机变量称f(x)为X的概率密度 函数,简称为概摔密度 连续型随机变量的分布函数在连续

概率论 则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数，简称为概率密度 . 一、 连续型随机变量及其概率密度的定义 ( ) ( ) x F x f t dt − =  ,使得对任意实数 x , 有 对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , x  − + ( , ) =  P X x ( ) 连续型随机变量的分布函数在 R上连续

←概率论 二、概率密度的性质 1°f(x)≥0 这两条性质是判定一个 函数f(x)是否为某rvX的 20f(x)dx=1概率密度的充要条件 f(r 面积为1 0

概率论 二、概率密度的性质 1 o f (x)  0 2 o   − f (x)dx =1 f (x) x o 面积为1 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件

←概率论 3对于任意实数x1,x2,(x1<x2) Px<Xsx23= f(x)dx 利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 4若f(x)在点x处连续,则有 F()=f(x)

概率论 利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 3 ) , 2 1 1 2 { } ( ) x x P x X x f x dx   =  4 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 F x f x ( ) ( ). =

←概率论 对fx的进一步理解: 若x是f(x)的连续点,则 f()=lim F(x+△x)-F(x) r→ △x P(x0 △v 故X的密度fx)在x这一点的值,恰好是X落 在区间(x,x+△中的概率与区间长度△x之比的极 限.这里,如果把概率理解为质量,f(x)相当于线 密度

概率论 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落 在区间 上的概率与区间长度 之比的极 限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线 密度. (x, x + x] x 若 x 是 f(x) 的连续点，则 对 f(x)的进一步理解: ( ) ( ) ( ) 0 lim x F x x F x f x x +  → +  − =  ( ) 0 lim x P x X x x x +  →   +  = 

←概率论 若不计高阶无穷小,有 P{x<X≤x+△x}=f(x)△x 表示随机变量X取值于(x,x+△x]的概率近似等 于f(x)△x f(x)Ax在连续型rv理论中所起的作用与 P(X=x)=P在离散型r.理论中所起的作用 相类似

概率论 若不计高阶无穷小，有 P{x  X  x + x} = f (x)x 表示随机变量 X 取值于 的概率近似等 于 . (x, x + x] f (x)x f (x)x 在连续型 r .v 理论中所起的作用与 k pk P(X = x ) = 在离散型 r .v 理论中所起的作用 相类似

←概率论 ff(r) 0 要注意的是,密度函数f(a)在某点处a的高度, 并不反映X取值的概率.但是,这个高度越大,则X 取a附近的值的概率就越大.也可以说,在某点密度 曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度

概率论 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度， 并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度 曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a

←概率论 请浅意: (1)连续型:w取任一指定实数值a的概率均为0.即 PX=a=0 这是因为 0≤P{X=a}≤P{a-△x0+时,得到 PiX=a=0

概率论 (1) 连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0. 即 这是因为 请注意: 0  PX = a Pa − x  X  a= F(a) − F(a − x) P X a  = = 0 . 当  → + x 0 , 时 得到 P X a  = = 0

概率论 由P(4)=0,不能推出A= 由P(B)=1,不能推出B=S (2)对连续型vX,有 P(a≤X≤b)=P(a<X≤b) P(a≤X<b) P(a<X<b

概率论 P(a  X  b) = P(a  X  b) = P(a  X  b) (2) 对连续型r.v X , 有 = P(a  X  b) 由P(B)=1, 不能推出 B=S 由P(A)=0, 不能推出 A = 