←概率论 第一节二维随机变量 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 课堂练习 小结布置作业
概率论 第一节 二维随机变量 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 课堂练习 小结 布置作业
←概率论 从本讲起,我们开始第三章的学习 它是第二章内容的推广 维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难,我们重点讨论二维随机变量
概率论 从本讲起，我们开始第三章的学习. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 它是第二章内容的推广
←概率论 到现在为止,我们只讨论了一维Eν及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而 需要用几个随机变量来描述 在打靶时,命中点的位置是 由一对rv(两个坐标)来确定的 飞机的重心在空中的位置是 由三个r(三个坐标)来确定的等 等
概率论 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是 由一对r .v (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是 由三个r .v (三个坐标)来确定的等 等
←概率论 般地,设E是一个随机试验它的样本空间是 S={e},设X1=X1(c),X2=X2(el),…,Xn,=Xn(e) 是定义在S上的随机变量,由它们构成的一个n维向 量(X1,X2,,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变 以下重点讨论二维随机变量 请注意与一维情形的对照
概率论 一般地, 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S e = , 设 ( ) 1 1 X X e = , ( ) 2 2 X X e = , , ( ) X X e n n = 是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向 量 ( X X X 1 2 , , , n ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照
←概率论 、二维随机变量的分布函数 定义1设(X,)是二维 随机变量如果对于任意实数维随机变量 x,y,二元函数 X分布函数 F(x,y F(x)=P(X≤x) =P{(X≤x)(≤y) 0<X<0 ≌P(X≤x,Y≤y 称为二维随机变量(X,)的分布函数,或者称为随机 变量X和y的联合分布函数
概率论 F(x) = P(X x) − x X的分布函数 一维随机变量 ( ) ( ) ( ) ( ) , , F x y P X x Y y P X x Y y = x y, , 如果对于任意实数 二元 函数 称为二维随机变量 ( X Y, ) 的分布函数, 或者称为随机 变量 X 和Y 的联合分布函数. 定义1 设 ( X Y, ) 是二维 随机变量, 一、二维随机变量的分布函数
←概率论 分布函数的函数值的几何解释 将二维随机变量(X,)看成是平面上随机点的 坐标,那么,分布函数F(xy)在点(xy)处的函数值 就是随机点(X)落在下面左图所示的以点(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 YI(x,Y X
概率论 x X x O O x y y (X,Y ) Y X (x, y) x 将二维随机变量 看成是平面上随机点的 坐标, ( X Y, ) 那么,分布函数 在点 处的函数值 就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ( X Y, ) F x y ( , ) ( x y, ) ( x y, ) 分布函数的函数值的几何解释
←概率论 随机点(X,)落在矩形域|x1<x≤x2n1<ysy2l 内的概率为 Px<X< y1< =F(x2y2)-F(x2,y1)-F(x,y2)+F(x1y1) y2 (X, Y
概率论 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 = F x , y − F x , y − F x , y + F x , y ( ) 1 2 1 2 P x X x , y Y y 随机点 ( X Y, ) 落在矩形域 1 2 1 2 [ , ] x x x y y y 内的概率为 x yO (X,Y ) 2 y 1 y x1 x2
←概率论 分布函数F(x,y)的性质: 1.F(x,y)是关于变量x和y的不减函数; 对任意固定的y∈R 及x,x2∈R,当x1<x2(x1y) y 时F(x1,y)≤F(x2y); 对任意固定的x∈R 及,2ER,当n<n2(X,y (X,) 时F(x,y)≤F(x,y2);
概率论 x y O (X,Y ) x1 2 x (x , y) y 1 (x , y) 2 分布函数 F(x, y)的性质 : 1 . F(x, y) 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ; ( , ) ( , ); , , 1 2 1 2 1 2 F x y F x y x x R x x y R 时 及 当 对任意固定的 ( , ) ( , ); , , 1 2 1 2 1 2 F x y F x y y y R y y x R 时 及 当 对任意固定的 (X,Y )
←概率论 2.0≤F(x,y)≤1,且 对任意固定的y∈R,F(-∞,y)=0, 对任意固定的x∈R,F(x,∞)=0, F(-∞,∞)=0,F(+o,+) X.Y 3.F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0)
概率论 ( ) , ( , ) 0 , 2 . 0 , 1 , − = y R F y F x y 对任意固定的 且 ( ) ( , ) 0 , ( , ) 1 . , , 0 , − − = + + = − = F F 对任意固定的 x R F x O x y y (X,Y ) X Y 3 . F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0). (x, y) x (x, y) x
←概率论 二、二维离散型随机变量 定义2如果二维随机变量 (X,)全部可能取到的不相同 维随机变量X 离散型 的值是有限对或可列无限多对, X的分布律 则称(XY)是离散型随机变量 P(X=Xk)=Pk 设二维离散型随机变量 k=1,2 9●● (x,r)可能取的值是(x,y) 1,2,,记 Pk≥0,k=1,2, P(X=X,Y=Vi=Pi P i,j=1, 称之为二维离散型随机变量(X,)的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律
概率论 ( , ) , i j i j P X=x Y = y =p 或随机变量X和Y 的联合分布律. ( ) , k k P X=x =p k=1,2, … 离散型 一维随机变量X X 的分布律 0, pk = k k p 1 k=1,2, … 定义2 的值是有限对或可列无限多对, 则称 ( X Y, ) 是离散型随机变量. 设二维离散型随机变量 ( X Y, ) 可能取的值是 ( x y i j , ,) i j , 1,2, , = i j , 1,2, = 记 如果二维随机变量 ( X Y, ) 全部可能取到的不相同 称之为二维离散型随机变量 ( X Y, ) 的分布律, 二、二维离散型随机变量
