←概率论 第一节大数定律 大数定律 依概率收敛定义及性质 小结
概率论 第一节 大数定律 大数定律 依概率收敛定义及性质 小结
←概率论 大数定律的客观背景 大量随机试验中 事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性 大量抛掷硬币 生产过程中的字母使用频率 正面出现频率 废品率 ●●●●●
概率论 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率 …… 测量值的算术平均值具有稳定性 事件发生的频率稳定于某一常数
←概率论 大数定律 定理1(切比雪夫定理的特殊情况)↓ˉr 设随机变量X1,X2…,Xn,…相互 独立,且具有相同的数学期望和方差:■ E(X)=山,D(X)=a(k=1,2,…) 切比雪夫 做前n个随机变量的算术平均x=∑Xk k=l 则对任意的>0,有 lim Pix-uke lmP{∑X;-kE}=1 i=1
概率论 一、大数定律 定理1（切比雪夫定理的特殊情况） 切比雪夫 则对任意的ε>0，有 独立，且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量X1 , X2，，Xn ,相互 2 ( ) , ( ) ( , , ). 1 2 E X D X k k k = = = | } 1 1 lim {| 1 = − = → = n i i n X n P lim {| − | } → P X n 1 1 X n n k k X = 做前 n 个随机变量的算术平均 =
←概率论 证由于 E∑Xk ∑E(Xk)=-.n=p nk=1 nk=l n D-∑X n ∑D(Xk) nk=1 n n 由切比雪夫不等式 P∑X-以<E}=1-02m n k= 上式中令n→00得 limP{∑X-kE}=1
概率论 证 = = n k Xk n E 1 1 由于 = n = n 1 = n k E Xk n 1 ( ) 1 = n k Xk n D 1 1 = = n k D Xk n 1 2 ( ) 1 n n n 2 2 2 1 = = 由切比雪夫不等式 2 2 1 1 1 n X n P n k k − − = 上式中令 n → 得 | } 1 1 lim {| 1 − = → = n i i n X n P
←概率论 说明 1、定理中{ΣX;-μk}是指一个随机事件 mi=l 当n→>∞时,这个事件的概率趋于1 2定理以数学形式证明了随机变量X1,…Xn 的算术平均X=∑X接近数学期望E(X)= ni=l (=1,2…,n),这种接近说明其具有的稳定性 这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数
概率论 说明1,2 , . E X 1 X 2 , 1 1 （ ），这种接近说明其具有的稳定性 的算术平均 接近数学期望 （ ） 、定理以数学形式证明了随机变量 k n X n X X k ni i n = = = = 1. | } 1 1 {| 1 当 时，这个事件的概率趋于 、定理中 是指一个随机事件， → − = n X n ni i 收敛的意义下逼近某一常数. 这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率
←概率论 二、依概率收敛定义及性质 定义设,V2,…Yn,…是一个随机变量序列,a是 一个常数若对于任意正数a,有 lim PiY-akel n→0 则称序列H1,H2,…Yn,…依概率收敛于a记为 -a 性质设Xn》a,Y-→b,又设函数g(x,y)在 点(a,b)连续,则g(Xn,Yn)>g(a,b
概率论 二、依概率收敛定义及性质 定义 一个常数 若对于任意正数 ，有 设 是一个随机变量序列， 是 . , , , Y1 Y2 Yn a lim {| − | } = 1 → P Y a n n . , , , . 1 2 Y a Y Y Y a P n n ⎯→ 则称序列 依概率收敛于 记为 性质 ( , ) ( , ) ( , ). , ( , ) a b g X Y g a b X a Y b g x y P n n P n P n ⎯→ ⎯→ ⎯→ 点 连续，则 设 ， 又设函数 在
←概率论 请注意: {Xn}依概率收敛于a,意味着对任意给定的g>0 当n充分大时,事件Xn-X<a的概率很大,接近于1; 并不排除事件XnX≥e的发生,而只是说他发生的 可能性很小 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些,它具有某种不确定性
概率论 请注意 : . 10 可能性很小 并不排除事件 的发生，而只是说他发生的 当 充分大时，事件 的概率很大，接近于 ； 依概率收敛于 ，意味着对任意给定的 ， − − X X n X X X a n n n 弱些，它具有某种不确定性. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
←概率论 定理1的另一种叙述形式 设随机变量X,X2…,XKn,…相互独立,且具 有相同的数学期望和方差:E(X)=A,D(XA)=a2 (k=12,则序列X=∑X依概率收敛于山,即 nk=1 P
概率论 定理1的另一种叙述形式 . 1 ( 1,2, ) ( ) , ( ) , , , 1 2 1 2 ⎯→ = = = = = P n k k k k n X X n k X E X D X X X X ，则序列 依概率收敛于 ，即 有相同的数学期望和方差： 设随机变量 ， 相互独立，且具
←概率论 问题 设n是n重贝努里试验中事件A发生 的次数,p是事件4发生的概率, 雅各布第一·伯努利 是事件A发生的频率 伯努利 事件发生的频率能否代替事件的概率,频率 是否具有稳定性呢?
概率论 问题 : 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生 的次数，p是事件A发生的概率， n nA 是事件A发生的频率. 是否具有稳定性呢？ 事件发生的频率能否代替事件的概率，频率
←概率论 定理2(贝努里大数定律) 设nA是m次独立重复试验中事件A发 生的次数,p是事件A在每次试验中发生 的概率,则对于任意正数e>0,有 nA lim Pi-p8=1 雅各布第 M 或 lim Pi-p28=0 伯努利 n→0 证明因为nA4~b(n,p),由此可表示为 n4=X1+X2+…+Xn 其中相互独立,且都服从以以为参数的(-1 分布因而E(Xk)=p,D(X)=(1-P),西⑥
概率论 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发 生的次数，p是事件A在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有 定理2（贝努里大数定律） lim {| − | } = 1 → p n n P A n 或 伯努利 lim {| − | } = 0 → p n n P A n 证明 A n A n X X X n b n p = 1 + 2 ++ 因为 ~ ( , ),由此可表示为 . ( ) ( ) (1 ), 0 1 E X p D X p p p k = k = − − 分布 因而 ， 其中相互独立，且都服从以 以为参数的（ ）