第七章定积分的应用 第一节定积分的几何应用 第二节定积分的物理应用与经济 应用举例
第七章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 第二节 定积分的物理应用与经济 应用举例
第一节定积分的几何应用 、定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长 第一节 定积分的几何应用
第一节定积分的几何应用 定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点: (1)所求量(设为F)与一个给定区间[a,b有关, 且在该区间上具有可加性.就是说,F是确定于[a,b上 的整体量,当把[a,b分成许多小区间时,整体量等于 各部分量之和,即F=∑F (2)所求量F在区间[a,b]上的分布是不均匀的, 也就是说,F的值与区间[a,b]的长不成正比.(否则的 话,F使用初等方法即可求得,而勿需用积分方法了)
第一节 定积分的几何应用 用定积分计算的量的特点： (1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 a,b 有关， 且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 a,b 上 的整体量，当把 a,b分成许多小区间时，整体量等于 各部分量之和，即 = = n i F Fi 1 . (2) 所求量 F 在区间 a,b 上的分布是不均匀的， 也就是说， F 的值与区间 a,b的长不成正比.（否则的 话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）. 一、 定积分应用的微元法
用定积分概念解决实际问题的四个步骤: 第一步:将所求量F分为部分量之和,即:F=∑△F 第二步:求出每个部分量的近似值, △F≈f(51)Ax1(i=1,2,…,n) 第三步:写出整体量F的近似值,F=∑△F≈∑f(5)x 第四步:取=max{△Ax}→>0时的∑f(5x极限,则得 F=lim 2/(5)Ax,=/(x)dx
用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F分为部分量之和，即: = = n i F Fi 1 Δ ; 第二步：求出每个部分量的近似值， ΔFi ≈ f ( )Δx (i 1,2, ,n); i i = 第三步：写出整体量 F 的近似值， = = n i F Fi 1 Δ ≈ i n i i f ( )Δx 1 = ； 第四步：取 = max{Δ }→ 0 i x 时的 i n i i f ( )Δx 1 = 极限，则得 = → = = n i b a i i F f x f x x 1 0 lim ( )Δ ( )d
观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式f()△x中的 变量记号改变一下即可(5换为x;4x换为dx) 而第三、第四两步可以合并成一步:在区间[a,b上无限累加, 即在[ab上积分.至于第一步,它只是指明所求量具有可加性, 这是F能用定积分计算的前提,于是,上述四步简化后形成实用 的微元法 定积分应用的微元法 在区间[a,b]上任取一个微小区间[x,x+dx],然后写出 在这个小区间上的部分量△F的近似值,记为dF=f(x)dx(称为F 的微元); (二)将微元F在a,b上积分(无限累加),即得 F=S/()dx
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性， 这是 F能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用 的微元法. 定积分应用的微元法： (一) 在区间 a,b上任取一个微小区间 x, x + dx，然后写出 在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF = f (x)dx (称为 F 的微元); （二） 将微元dF 在a,b上积分（无限累加），即得 ( )d . = b a F f x x 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 i i f ( )Δx 中的 变量记号改变一下即可（ i 换为 x ； i x 换为 dx ）
微元法中微元的两点说明 (1)f(x)dx作为△F的近似值表达式,应该足够准确,确切 的说,就是要求其差是关于Ax的高阶无穷小.即 △F-f(x)dx=o(△x).这样我们就知道了,称作微元的量 f(x)dx,实际上是所求量的微分dF; (2)具体怎样求微元呢?这是问题的关键,这要分析问 题的实际意义及数量关系,一般按着在局部[x,x+dx]上, 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线 性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元 dF=f(x)dx
微元法中微元的两点说明： (1) f (x)dx作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切 的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小 . 即 ΔF − f (x)dx = o(Δx) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ; (2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问 题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x + dx 上， 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性 化 ）， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 dF = f (x)dx
用定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分 (1)曲线y=f(x)(f(x)≥0),x=a,x=b及Ox轴所围 图形,如下页左图,面积微元dA=f(x)dx,面积 A=f(x)dx. (2)由上、下两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x)及 x=a,x=b所围成的图形,如下页右图,面积微元 dA=[f(x)-g(x)]dx,面积A=[f(x)-g(x)kdx
1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （2） 由上、下两条曲线y = f (x), y = g(x)( f (x) g(x))及 x = a, x = b所围成的图形，如下页右图，面积微元 dA = [ f (x) − g(x)]dx,，面积 = − b a A [ f (x) g(x)]dx . （1） 曲线y = f (x)( f (x) 0),x = a, x = b 及 Ox 轴所围 图形，如下页左图，面积微元dA = f (x)dx，面积 = b a A f (x)dx. 二、用定积分求平面图形的面积
y=f(x) y=f(x x+ o a xx+dx b b x y=8(x) (3)由左右两条曲线x=v(y),x=0(y)及y=c,y=d所 围成图形(图见下页)面积微元(注意,这时就应取横条矩 形dA,即取y为积分变量)d4=[o(y)-v(y)]y,面积 A=L[o(y)-y(y)ldy
（3）由左右两条曲线x =( y), x =( y)及y = c, y = d 所 围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩 形 dA，即取 y为积分变量）dA = [( y) −( y)]dy，面 积 = − d c A [( y) ( y)]dy. O y a x x + dx b x y = f (x) x O y x x + dx a y = f (x) y = g(x) b
J+dI x=(y) x=( xx+ax 例1求两条抛物线y2=x,y=x2所围成的图形的面积 解(1)画出图形简图(如右上图)并求出曲线交 点以确定积分区间
例 1 求两条抛物线 2 2 y = x, y = x 所围成的图形的面积 . 解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交 点以确定积分区间： O y x x +dx x 1 (1,1) O y x y c d x y = ( ) x y = ψ( ) y y + d
解方程组yx得交点(0,0)及(1,1) (2)选择积分变量,写出面积微元,本题取竖条或横条作 dA均可,习惯上取竖条,即取x为积分变量,x变化范围为[0, 1],于是 dA=(x-x)dx, (3)将A表示成定积分,并计算
解方程组 = = , , 2 2 y x y x 得交点（0，0）及（1，1）. (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0， 1 ]，于是 d ( )d , 2 A = x − x x (3)将A表示成定积分，并计算 = = − = − 1 0 1 0 2 3 3 2 3. 1 3 1 3 2 A ( x x )dx x x
