第4章假设检验 41基本概念 4.1.1引言 关于总体特征的随机变量的概率分布的一个陈述称为 统计假设,如果这个陈述只涉及到总体的参数则称为参数 假设。否则称为非参数假设验证统计假设的方法叫做统计 假设检验。 其意义:是利用适当的统计量对总体的分布或参数做 出种种零假设H,然后根据观测信息来对H进行检验, 从而判断H是否成立。 其任务:(1)对不同的问题确定相应的方法,通过选 择适当统计量来判断H是否成立。若成立接受它,若不 成立拒绝它 (2)评价检验方法好坏的标准。 4-1
4- 1 第4章 假设检验 4.1 基本概念 4.1.1引言 关于总体特征的随机变量的概率分布的一个陈述称为 统计假设，如果这个陈述只涉及到总体的参数则称为参数 假设。否则称为非参数假设,验证统计假设的方法叫做统计 假设检验。 其意义：是利用适当的统计量对总体的分布或参数做 出种种零假设H0 ，然后根据观测信息来对H0 进行检验， 从而判断 H0 是否成立。 其任务：（1）对不同的问题确定相应的方法，通过选 择适当统计量来判断H0 是否成立。若成立接受它，若不 成立拒绝它。 （2）评价检验方法好坏的标准
其基本思想 1)实际推断原理 2)统计假设检验主要是起否定作用,其逻辑推理表 现为否定之否定(即反证法) 统计推断的另一类重要问题是根据样本的信息来判断 总体分布是否具有指定的特征。如已知样本来自正态总体, 要问它的均值是否为μo 例1.某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装 糖重是一个随机变量,它服从正态分布。当机器正常时,其 均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤。某日开工后为检验 包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重 为(公斤): 0.4970.5060.5180.5240.498 0.5110.5200.5150.512 问机器是否正常? 4-2
4- 2 其基本思想： 1）实际推断原理 2）统计假设检验主要是起否定作用，其逻辑推理表 现为——否定之否定（即反证法） 统计推断的另一类重要问题是根据样本的信息来判断 总体分布是否具有指定的特征。如已知样本来自正态总体， 要问它的均值是否为μ0。 例1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装 糖重是一个随机变量, 它服从正态分布。当机器正常时,其 均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤。某日开工后为检验 包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重 为(公斤)： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常?
解设该天的袋装糖重X, 由假设可知X~N(p,0.0152) 现在的问题是要检验μ=0.5?为此可提出假讠 H:μ=μo=0.5,和H1:μ≠μ0, 如果假I成立那么X~N(0.5,0.0152) 自然想到可来进行判断,允许有定的波 动,但与μ的偏差又不能太大。郾找一个常数 k,当|X-μ0|>k时拒绝假0,反之接受 可知即使假设是对的,我们也可能艳H0(即判 断错误,犯这类错误的概率遨α,即有 4-3
4- 3 断错误，犯这类错误的概率记为 ，即有 可知即使假设 是对的，我们也可能拒绝 即 判 ，当 时拒绝假设 ，反之接受 动，但 与 的偏差又不能太大。即要找一个常数 自然想到可用来进行判断，允许有一定的波 − ) H H ( k | X | k H H . X X 0 0 0 0 * 0 * 0 如果假设 成 立 那 么 。 和 现在的问题是要检验 为此可提出假设 由假设可知 解 设该天的袋装糖重为 H , X ~ N(0.5,0.015 ) H : 0.5, H : , 0.5? X ~ N( ,0.015 ) . X, 2 0 0 0 1 0 2 = = = ( , 0. 015 ) 2 X～N (0. 5 , 0. 015 ) 2 X～N
P{拒绝H0|H为真 =P{X-p0|k|μ=p0}= 或 ≥k}=a, 般取c=0.05或0.01等。 对于本题可用统计量X-0.5 ,由假设知 0.015 U~N(0,),于是px-0.5 >la2}=a.其中 001 0<a<1,当很小时,比如取=0.0剞时,则 4-4
4- 4 一般取 ＝ 或 等 。 或 拒 绝 为 真 0.0 5 0.0 1 k} , n X P { P{| X | k | } . P{ H | H } 0 0 * 0 0 0 0 = − = − = = ， 当 很小时，比如取 时，则 ，于是 其中 对于本题可用统计量： 由假设知 0 1 0.0 5 z . 0.015 9 X 0.5 Z ~ N(0,1) P , 0.015 9 X 0.5 Z / 2 = = − − = U U u 2
X-0.5 105x2是一个小概率事件 查表可知l025=1.96对于所给的样本算得到 x-0.5 X=0.511 22>la2=1.96,这说明小概 0015√9 率事件 X-0.5 >la2居然发生了根据实际推断 0.015 原理:"小概率事件在一次试骏是很难发生的, 因而有理由认为原假设=0.不成立,即这天包装机 的工作不正常 4-5
4- 5 的工作不正常。 因而有理由认为原假设 不成立，即这天包装机 原 理 小概率事件在一次试验中是很难发生的 率事件 居然发生了根据实际推断 ， 这说明小概 查表可知 。对于所给的样本值计算得到 是一个小概率事件 0.5 : " ", z , 0.015 9 X 0.5 2.2 z 1.9 6, 0.015 9 x 0.5 x 0.511 z 1.9 6 , z , 0.015 9 X 0.5 / 2 / 2 0.025 / 2 = − = = − = = − u0.025u 2 u 2 u 2
注:假设检验所采用的方法类似一种反证法: 先假设结论成立,然后在这个结论成立的条件下进行推导 和运算,如果得到矛盾,则推翻原来的假设。 这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即如果“小概率 事件在一次试验中发生了”,则认为出现了与实际情况不符 的矛盾,故原假设不成立,因此,假设检验是一种带有概率性 质的反证法。 基本概念与术语: 1.称给定的a(0<a<1)为显著性水平 2统计量=X-H0称为检验统计量 4-6
4- 6 注: 假设检验所采用的方法类似一种反证法: 先假设结论成立, 然后在这个结论成立的条件下进行推导 和运算, 如果得到矛盾, 则推翻原来的假设。 这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾,即如果“小概率 事件在一次试验中发生了” , 则认为出现了与实际情况不符 的矛盾，故原假设不成立,因此,假设检验是一种带有概率性 质的反证法。 基本概念与术语: 1. 称给定的 (0< <1) 为显著性水平. . n X 2. Z 统计量 0 称为检验统计量 − U=
3.一般地,检验问题可鍵为: 在显著性水平下,检验假设 H0:μ≡μ,H1:p≠μo 其中H称为原假设,H称为备择假备选假设 4、当检验统计量取某个國C中的值时,则拒绝 假诞H,称C为拒绝域,拒绝域的点称为临界 点,如在上例中为Um2,U=-n2和U=la2 为临界点。 注:拒绝域的大小与显著帐平α的大小有关对于 同一组样本值在不同的显著性水下可能得到截 然相反的结如上例中取a=001,L005-=258, 22<258则应接史0,可见x的选择是很重要的。 4-7
4- 7 其 中 称为原假设， 称为备择假设备选假设。 ， 在显著性水平下，检验假设 一般地，检验问题可叙述 为 H H ( ) H : H : . 3. : 0 1 0 = 0 1 0 为临界点。 点，如在上例中为 ， 故 和 假 设 ， 称 为拒绝域，拒绝域的边界点称为临界 当检验统计量取某个区域 中的值时，则拒绝原 /2 /2 /2 0 C | Z | z Z z Z z H C 4. C U U = − U== u 2 u 2 − u 2 则应接受 可 见 的选择是很重要的。 然相反的结论如上例中取 同一组样本值在不同的显著性水平下 可能得到截 注 拒绝域的大小与显著性水 平 的大小有关对 于 = = 2.2 2.5 8, H , , , 0.0 1, z 2.5 8, , , : . 0 u0 0. . 005 005
5.假设检验的一般步骤: 1)提出原假设及备择假设I1,如 0:μ=p0=0.5,H1:μ≠0 X-0.5 2)选择统计量,如U= 0015√9 3)求出在原假谩成立的条件下,该统量服从 的概率分布,如假设=0.5,U~N(0,1) 4)选择显著性水瑖,确定拒绝域 5)根据样本值计算统计量观察值,看观察值寿 否落入拒绝域内,作拒绝或接觉的结论。 4-8
4- 8 5. 假设检验的一般步骤： 否落入拒绝域内，作出拒绝或接受 的结论。 根据样本值计算统计量的观察值，看观察值是 选择显著性水平，确定拒绝域 的概率分布，如假设 ， 求出在原假设 成立的条件下，该统计量服从 选择统计量，如 ， ； 提出原假设 及备择假设 如 0 0 0 0 1 0 0 1 H 5) 4) ; 0.5 Z ~ N(0,1) ; 3) H ; 0.015 9 X 0.5 2) Z H : 0.5 H : 1) H H , = − = = = U U
4.1.2假设 在用统计方法为实际问题作决断时,常常需要做出适当 的假设,然后再根据样本提供的信息进行判断,决定是否接 受这个假设。在例1中我们要判断这批糖的重量是否合格时, 首先假设它合格,H:μ=μ0=0.5然后抽取9袋看是否存在常 数κ,是否有 x-A<k,来验证H是否成立。 对非参数分布族的假设检验的问题称为“非参数假设检验” 个假设是需要“检验”的,就是要在假设H成立的 前提下,根据样本观测值结果来判定是接受它还是拒绝它。 这样的假设H称为“零假设”或“原偎设”,它是作为检 验的前提假设,当“零假设”被拒绝时,就意味着接受一个 与之对立的假设,称为“备择假设”或“对立假设”,常用 H表示。 4-9
4- 9 4.1.2 假设 在用统计方法为实际问题作决断时，常常需要做出适当 的假设，然后再根据样本提供的信息进行判断，决定是否接 受这个假设。在例1中我们要判断这批糖的重量是否合格时， 首先假设它合格，H0 :μ=μ0= 0.5 然后抽取9 袋看是否存在常 数 k *，是否有 X − 0 k * ,来验证 H0 是否成立。 对非参数分布族的假设检验的问题称为“非参数假设检验”。 一个假设是需要“检验”的，就是要在假设 H0 成立的 前提下，根据样本观测值结果来判定是接受它还是拒绝它。 这样的假设H0称为“零假设”或“原假设”，它是作为检 验的前提假设，当“零假设”被拒绝时，就意味着接受一个 与之对立的假设，称为“备择假设”或“对立假设”，常用 H1表示
零假设通常应该受到保护的,没有充足的证据是不能被 拒绝的,而对备择假设则应取慎重态度,没有充足的理由不 能轻易接受。在例1中我们希望这批产品是合格的,没有充分 证据不想轻易将它判为是不合格的。 413检验 对给定的假设,要根据样本的取值情况来决定它是接受 还是拒绝零假设,不能等到试验结果已经得知以后来制定接 受或拒绝零假设的准则,而是应该事先规定好这种准则 即检验。对于一个假设,一个检验就是给出一个拒绝域和 个接受域 在例中接受域为:0.5 v9a2,0.540.015 0.015 拒绝域为:-∞,0.5 0.015 0.015 0.5+ a/2,+o 当X落入接受域时就接受0,否则就拒绝H0,即接受H1。 4-10
4- 10 零假设通常应该受到保护的，没有充足的证据是不能被 拒绝的，而对备择假设则应取慎重态度，没有充足的理由不 能轻易接受。在例1中我们希望这批产品是合格的，没有充分 证据不想轻易将它判为是不合格的。 4.1.3 检验 对给定的假设，要根据样本的取值情况来决定它是接受 还是拒绝零假设，不能等到试验结果已经得知以后来制定接 受或拒绝零假设的准则，而是应该事先规定好这种准则—— 即检验。对于一个假设，一个检验就是给出一个拒绝域和一 个接受域。 − 2 + 2 9 0.015 , 0.5 9 0.015 在 例1中接受域为： 0.5 u u + + − − , 9 0.015 0.5 9 0.015 拒绝域为： , 0.5 u 2 u 2 当 X 落入接受域时就接受H0 ,否则就拒绝H0 ，即接受H1