概率论引论 汪仁官 第一章古典概型与概率测度的公理 第二章随机变量及其概率分布 第三章n维随机向量及其概率分布 第四章随机变量的数字特征 第五章母函数与特征函数及极限定理
汪仁官 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 n维随机向量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 母函数与特征函数及极限定理 第一章 古典概型与概率测度的公理 概 率 论 引 论
“概率论”是近代数学中具有独特思想和特殊方 法的一个重要分支,其理论严谨,内容丰富,应用 广泛,发展迅速是目前最活跃的数学学科之一。 概率论的主要任务是对不同类型的随机现象建立不 同的数学模型,研究它们各自的规律和相互关系。 通过本课程的学习,要牢固掌握概率论的基础理论 和基本方法,为学习“数理统计′ 随机过程 等后继课程打好坚实的基础还要初步学会用概率论 的思想去处理随机现象,要具有较强的分析和解决实 际问题的能力
通过本课程的学习，要牢固掌握概率论的基础理论 和基本方法，为学习 “数理统计” 、 “随机过程” 等后继课程打好坚实的基础.还要初步学会用概率论 的思想去处理随机现象，要具有较强的分析和解决实 际问题的能力。 “概率论”是近代数学中具有独特思想和特殊方 法的一个重要分支，其理论严谨，内容丰富，应用 广泛，发展迅速, 是目前最活跃的数学学科之一。 概率论的主要任务是对不同类型的随机现象建立不 同的数学模型，研究它们各自的规律和相互关系
第一章古典概型与概率测度的公理化 §1随机试验样本空间和随机事件 随机试验 随机试验有如下特点: (1)试验可以在相同条件下重复进行 (2)每次试验可能出现的结果不止一个, 试验前所有可能的结果是明确的; (3)进行一次试验之前,不能确定这次试验会 出现哪一个结果。 1-3
1-3 §1 随机试验 样本空间和随机事件 （3）进行一次试验之前，不能确定这次试验会 出现哪一个结果。 一. 随机试验 随机试验有如下特点： （2）每次试验可能出现的结果不止一个， 试验前所有可能的结果是明确的； （1）试验可以在相同条件下重复进行； 第一章古典概型与概率测度的公理化
二.样本空间 称随机试验E的所有可能结果组成的集台为E的样本 空间,记为g称样本空间的元素,即E的每个结果, 为样本点。 例如以下都是随机试验。 E1:抛掷一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。 E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面出现的次数 E3记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 E4:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 设对应于E的样本空间为g则91={H,T c22={0,1,2,3};923={0,1,2,3.};4={lt≥ 1-4
1-4 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数。 E3 ：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 E4 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 例如以下都是随机试验。 设对应于 E 的样本空间为 K ：则 K { , }; 1 = H T {0,1,2,3}; 2 = {0,1,2,3...}; 3 = { | 0}. 4 = t t E1 : 抛掷一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 二. 样本空间 称随机试验E的所有可能结果组成的集合为E的样本 空间，记为 。称样本空间的元素，即E的每个结果， 为样本点。
三.随机事件 一般来说,我们称试验E的样本空间的子集为E的 随机事件,简称事件。通常用大写的英文字母A, B,c等来表示。 严格地说,事件是指样本空间中满足某些条件 的子集,另一些子集必须被排除在外(详见教材第 章§10P36-40)。幸而这种不被容许的子集在实际 应用中几乎不会遇到。今后,每当我们讲到一个事 件时,都假定它是容许考虑的那种子集,其全体构 成的集合,记作F。 1-5
1-5 三. 随机事件 一般来说，我们称试验E的样本空间的子集为E的 随机事件，简称事件。通常用大写的英文字母A， B，C等来表示。 严格地说，事件是指样本空间中满足某些条件 的子集，另一些子集必须被排除在外(详见教材第一 章§10 P.36-40)。幸而这种不被容许的子集在实际 应用中几乎不会遇到。今后，每当我们讲到一个事 件时，都假定它是容许考虑的那种子集，其全体构 成的集合，记作 F
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。例 如,试验1有两个基本事件{H和{T};试验2有四个 基本事件{0},{1},{2},};试验3有无穷可数个 基本事件;试验4有无穷不可数个基本事件。 在每次试验中,当且尽当这一子集中的一个样 本点出现时,称这一事件发生。样本空间包含所有 的样本点,在每次试验中它总是发生的,称为必然 事件。空集不包含任何样本点,它在每次试验中都 不发生,称为不可能事件。 1-6
1-6 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。例 如，试验1有两个基本事件{H}和{T}；试验2有四个 基本事件{0}，{1}，{2}，{3}；试验3有无穷可数个 基本事件；试验4有无穷不可数个基本事件。 在每次试验中，当且尽当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。样本空间包含所有 的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为必然 事件。空集不包含任何样本点，它在每次试验中都 不发生，称为不可能事件
§2事件的关系与运算 事件的关系与运算 集合是数学中非常基本而重要的概念。用 集合的观点来观察和处理事件,对我们理解 事件的关系与运算至关重要。 (一)事件运算的基本规则 1.结合律2交换律3.分配律(详见P13) 4.对偶公式(德摩根律) ∪4=∩4∩4=∪x2 i=1 i=1 i=1
1-7 §2 事件的关系与运算 集合是数学中非常基本而重要的概念。用 集合的观点来观察和处理事件，对我们理解 事件的关系与运算至关重要。 （一）事件运算的基本规则 一.事件的关系与运算 4. 对偶公式(德—摩根律): n i i n i Ai A 1 __ ______ =1 = = n i i n i Ai A 1 ___ ______ =1 = = (2.1) 1. 结合律 2.交换律 3. 分配律 (详见P.13)
事件的关系 事件的关系 关系的内含 A∈B(包含) A发生必导致B发生 A=B(相等) A包含B且B包含A A∪B(并或和)A、B中至少有一发生 A∩B(交或积) A、B同时发生 AB= g A、B不能同时发生 (A、B互不相容) AB=0,A∪B=A、AB不能同时发生 B对立记作 4=B且A、B中至少有一发生 A-B(AB) A发生且B不发生 1-8
1-8 关系的内含 A发生且B不发生 A、B不能同时发生 且A、B中至少有一发生 （A、 B对立记作 ） A、B不能同时发生 （A、B互不相容） （交或积） A、B同时发生 （并或和） A、B中至少有一发生 （相等） A包含B且B包含A （包含） A发生必导致B发生 事件的关系 A B A = B A B A B AB = AB = , A B = A− B(= AB) A = B 事件的关系
例21设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算 表示下列事件D,如果D发生意味 着 (1)A发生,而B与C不发生 D=ABC (2)A、B、C中至少有一个发生 D=A∪BUC (3)A、B、C中至少有两个发 生D=AB∪AC∪BC 1-9
1-9 例2.1 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算 D = ABC （2）A、B、C中至少有一个发生； （3）A、B、C中至少有两个发 生 D = ABC D = AB AC BC （1）A发生，而B与C不发生； 表示下列事件D，如果D发生意味 着
§3频率与概率,概率的加法公式 频率 如果在相同的条件下,试验独立重复地进行了n 次,在这n次试验中,事件A发生的次数称为事 件A发生的频数。比值μ/称为事件A发生的频 率,记作fn(A) 由定义可见,频率具有如下性质 (1)0≤fn(4)≤1,(2)f(g)= (3)若A1,A2,兩互不相容,则 k 4)=∑f(4 i=1 1-10
1-10 §3 频率与概率，概率的加法公式 一. 频率 如果在相同的条件下，试验独立重复地进行了n 次，在这n次试验中，事件A发生的次数 称为事 件A发生的频数。比值 称为事件 A 发生的频 率，记作 / n f (A) n 由定义可见，频率具有如下性质： 0 f (A) 1; （ n 1） () = 1; n （2) f （3）若 A A 两两互不相容，则 Ak , ,..., 1 2 k i k i n i n Ai f A f 1 1 ( ) ( ) = = =