第三章 n维随机向量及其概率分布
第三章 n维随机向量及其概率分布
在随机现象中往往涉及多个随机变量。例如在打 靶时命中点的位置是由一对V两个坐标)来确定 的。飞机的重心在空中的位置是由三个三个 坐标)来确定的等等 一般地,我们称定义在同一概率空间上的n个随 机变量的整体X(X,X2…,X)为m雄随机向量. 因此,m维随机向量是一维随机变量的推广。由 于从二维推广到多维,一般无实质性的困难,我 们将重点讨论二维随机变量特别要关注多维与 一维情形的对照
在随机现象中往往涉及多个随机变量。例如在打 一般地，我们称定义在同一概率空间上的n个随 因此，n维随机向量是一维随机变量的推广。由 机变量的整体X=(X1 , X2 , …，Xn )为n维随机向量. 靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定 的。飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个 坐标）来确定的等等. 于从二维推广到多维，一般无实质性的困难，我 们将重点讨论二维随机变量 .特别要关注多维与 一维情形的对照
第三章 n维随机向量及其概率分布 §1连续型随机向量 及其概率密度
第三章 n维随机向量及其概率分布 §1 连续型随机向量 及其概率密度
51连续型随机向量及其概率密度 定义 称m维随机向量X=(X,X2,…,X)是连续型 的,如果存在非负可积函数p(x1,x2…,xn) (定义域为R"),它对任意n维长方体 D={x1 )a<x1≤b,=1,2…,n} p(x,xy,x)∈D)=(x,x2…,x)
§1 连续型随机向量及其概率密度 一。定义 称n维随机向量X=(X1 , X2 , …，Xn )是连续型 的，如果存在非负可积函数 ( , ,..., ) 1 2 n p x x x （定义域为 n R {( , ,..., )| , 1,2,..., } D = x1 x2 xn ai xi bi i = n 都有 = n n D p((x , x ,..., xn ) D) p(x , x ,..., x )dx ...dx 1 2 1 2 1 （1。1） ），它对任意n维长方体
性质(与一维随机变量比较) 二维连续型随机变量 一维连续型随机 (X,Y),X,Y的联 变量X的概率密度 合概率密度p(x2y) X P{(X,Y)∈D} P(a≤X≤b) p( x,y)dxdy (1。2) L p(x)dx DER2 p(x,y)≥0 p(x)≥0 +OO P+oO L p(x, y)dxdy= p(xdx=1 (1。3)
一维连续型随机 变量X的概率密度 p(x) 0 ( ) =1 + − p x dx = b a p(x)dx P(a X b) p(x) 二。性质（与一维随机变量比较） 二维连续型随机变量 （X,Y），X，Y的联 合概率密度 p(x, y) 0 + − + − p(x, y)dxdy =1 P{(X,Y) D} = 2 ( , ) D R p x y dxdy p(x, y) （1。2） （1。3）
三。多维随机向量的两个最基本的分布 (-)均匀分布 设G是平面上的有界闭区域,其面积为A若n维随机 向量X(X1,X2,…,X)具有概率密度 /A, (X,,x )∈G p(,x2 xn)= 0,(x12x2…,xn)G(1。4) 则称X=(X1,X2,,X在G上服从均匀分布 向有界闭区域G上投掷一质点,若质点落在G内任一小 区城B的概率与小区城的测度成正比,而与B的位置无关. 则质点的坐标(X1,X2,…,X)在G上服从均匀分布 几何概型中讨论的概率计算问题,其假定的实质都是一个 n维区域上的均匀分布
三。多维随机向量的两个最基本的分布 （一）均匀分布 设G是平面上的有界闭区域，其面积为A.若n维随机 向量X=(X1 , X2 , …，Xn )具有概率密度 则称X=(X1 , X2 , …，Xn )在G上服从均匀分布. 向有界闭区域G上投掷一质点，若质点落在G内任一小 区域B的概率与小区域的测度成正比，而与B的位置无关. 则质点的坐标(X1 , X2 , …，Xn )在G上服从均匀分布. 几何概型中讨论的概率计算问题，其假定的实质都是一个 n维区域上的均匀分布. （1。4） = x x x G A x x x G p x x x n n n 0,( , ,..., ) 1/ ,( , ,..., ) ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2
(二)多维正态分布 这里只写出二维正态分布的定义: 若二维随机向量(X,Y)具有概率密度 p(x, y) 2丌oG2l-p3e 2(1-p 2p()y22)+(y2)]} 其中1,p2O1,O2,O均为常数且 >0,a2>02<1 (1。5) 则称(X,Y)服从参数为/1,/l2,O1,O2,的 二维正态分布 记作(X,Y)~N(12/2O12O2P)
若二维随机向量（X,Y）具有概率密度 2 1 1 2 2 1 2 [( ) 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( , ) − − − − = x p x y 2 ( )( ) ( ) ]} 2 2 2 2 2 1 1 − + − − − x y y 则称（ X,Y）服从参数为 的 二维正态分布. 1 ,2 ,1 , 2 , 记作（ X,Y）～N( , , , , ) 1 2 1 2 （二）多维正态分布 这里只写出二维正态分布的定义： （1。5） 其中 1 ,2 ,1 , 2 , 均为常数,且 1 0, 2 0, 1
(四)边缘概率密度及其与联合概率密度的关系 对于连续型κv(XY),如果联合概率密度为p(x2y) 则(X,)关于X的边缘概率密度为 Px(x)= p(x, y)dy (1. 6a) (X,Y)关于Y的边缘概率密度为 P2(y)=p(x,y)x(.6b) 由此可见,由联合概率密度可确定边缘概率密度。 必须指出对于n维随机向量(X1,X2,X)有关于 i21°k2 x)的边缘概率密度
对于连续型 r.v ( X,Y )，如果联合概率密度为 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为 ( X,Y )关于Y的边缘概率密度为 − p x = p x y dy X ( ) ( , ) − p y = p x y dx Y ( ) ( , ) （四）边缘概率密度及其与联合概率密度的关系 p(x, y) （1。6a） （1。6b） 由此可见，由联合概率密度可确定边缘概率密度。 必须指出对于n维随机向量(X1 , X2 , …，Xn ) 有关于 ,( , ),...,( , ,..., ) k k1 k 2 k1 k 2 k (n−1) i i i i i i x x x x x x 的边缘概率密度
例1。1设随机向量(X,Y)的概率密度为 <x0<x<1 p(x, y 0,其他 求边缘概率密度Px(x),Dy(y) 解:PR(x)=p(x,y)d x ldy=2x, 0<x<1 P()= P(x, y)dx lx=1-y-1<y<
例1。1 设随机向量（X，Y）的概率密度为 = 0,其他 1, ,0 1 ( , ) y x x p x y 求边缘概率密度 p (x), p (y) X Y 解： − P x = p x y dy X ( ) ( , ) = 1 = 2 ,0 1 − dy x x x x − P y = p x y dx Y ( ) ( , ) 1 1 , 1 1 1 = = − − dx y y y
例1.2设二维随机向量(X,Y)在 D={(X,Y/x2≤y≤1,-1≤x≤1} 上服从均匀分布 (1)写出它的联合概率密度 (2)求它的两个边缘概率密度; (3)求P{(X,Y)∈D 其中:D={(X,Y)/0≤x≤,0≤y≤ 解:(1)A=,d=2(1-x) 3/4,(X,Y)∈D p(x,y O, (X,YED (2)PX(x)=p(x,y)dy= (1-x2),-1<x< 44
例1.2 设二维随机向量（X，Y）在 {( , )/ 1, 1 1} 2 D = X Y x y − x 上服从均匀分布， （1）写出它的联合概率密度； （2）求它的两个边缘概率密度； （3）求 {( , ) } P X Y D 1 其中： } 2 1 ,0 2 1 D 1 ={(X,Y)/ 0 x y 解：（1） , 3 4 2 (1 ) 1 0 2 1 1 1 2 = = − = − A dx dy x x = X Y D X Y D p x y 0,( , ) 3/ 4,( , ) ( , ) （2） − P x = p x y dy X ( ) ( , ) (1 ), 1 1 4 3 4 3 2 1 2 = = − − dy x x x