第三章收敛与混沌-迭代 迭代xn1=f(x),n=012…产生的数列{xn}可 能是:(1)收敛;(2)周期性变化:(3)分岔;(4)混沌。 如:用xn+1=3x,(1-xn),x=04选代产生的数列 xn}是否收敛?答: 0.40000.72000.60480.71710.60870.7146 0.61190.7125061460.71060.61690.7090 0.61900.7075062080.70620.62240.7050 0.62390.70400.6252 不收敛。 §31不动点与迭代 1.什么是迭代 定义:任意给定一个输入x,由一个函数表达式f 得到一个输出f(x);再将f(x)作为新的输入x,由同 个∫得到下一个输出:重复。这中对某个函数规则∫ 反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为迭代 个迭代过程的数学表示为 xul=f(r, ),n=0, 1, 2 其中,f(x)称为选代函数,产生的数列{xn}称为迭代 数列,x称为迭代初值。 迭代函数f(x)是关键,迭代数列的变化趋势主要 由它决定 例1:f(x)=√x,则选代式为xm1=√xn, 分别取x=0,0.1,0.8,1,2,99计算,得下面数列: 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0.1.0.31.0.56.0.74.0.86.0.93.0.96.098099099 0.80.890.940.970.980.990.99 2,141,1.18,1.09,1.04,1.02,1.01,1.00,1.00 99.994.3.151.771.331.151071.031.011.001.00 结论:迭代函数f(x)=√x对于初值x=01保持不动 (称为不动点);对于其余初值(非1的任何正数)都收敛 于1 问:f(x)=-时,迭代规律? 2.不动点 定义:若存在点u,满足f(u)=u,则称点u为迭
第三章 收敛与混沌----迭代 迭代 ( ) , 0,1,2,...... xn+1 = f xn n = 产生的数列 xn 可 能是：(1)收敛；(2)周期性变化；(3)分岔；(4)混沌。 如：用 xn+1 = 3xn (1− xn ) , x0 = 0.4 迭代产生的数列 xn 是否收敛？ 答： 0.4000 0.7200 0.6048 0.7171 0.6087 0.7146 0.6119 0.7125 0.6146 0.7106 0.6169 0.7090 0.6190 0.7075 0.6208 0.7062 0.6224 0.7050 0.6239 0.7040 0.6252 不收敛。 §3—1 不动点与迭代 1．什么是迭代 定义：任意给定一个输入 x ，由一个函数表达式 f 得到一个输出 f (x) ；再将 f (x) 作为新的输入 x ，由同 一个 f 得到下一个输出；重复。这中对某个函数规则 f 反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为迭代。 一个迭代过程的数学表示为 ( ) , 0,1,2,...... xn+1 = f xn n = 其中， f (x) 称为迭代函数，产生的数列 xn 称为迭代 数列， 0 x 称为迭代初值。 迭代函数 f (x) 是关键，迭代数列的变化趋势主要 由它决定。 例 1： f (x) = x ，则迭代式为 n n x = x +1 ， 分别取 0 x =0, 0.1, 0.8, 1, 2, 99 计算，得下面数列： 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …… 0.1, 0.31, 0.56, 0.74, 0.86, 0.93, 0.96, 0.98 0.99 0.99 …... 0.8 0.89 0.94 0.97 0.98 0.99 0.99 …… 1 1 1 1 1 1 1 ……. 2, 1.41, 1.18, 1.09, 1.04, 1.02, 1.01, 1.00, 1.00, ….. 99, 9.94, 3.15 1.77 1.33 1.15 1.07 1.03 1.01 1.00 1.00 … 结论：迭代函数 f (x) = x 对于初值 x0 = 0,1 保持不动 （称为不动点）；对于其余初值（非 1 的任何正数）都收敛 于 1 . 问： x f x 1 ( ) = 时，迭代规律？ 2．不动点 定义：若存在点u ，满足 f (u) = u ，则称点u 为迭
代函数f(x)的一个不动点 对于同一个f(x),其不动点不一定存在、不一定唯一。 在某个不动点附近取初值,迭代可能收敛于这个 不动点,称它为吸引的(如例1中的不动点1);也可能 远离此不动点,称它为排斥的(如例1中的不动点0)。 §3-2用图示法体现迭代数列的规律 线性迭代:f(x)=ax+b 二次函数迭代:f(x)=ax2+bx+c 一种特殊的二次函数迭代:著名的 Logistic函数 f∫(x)=ax(1-x),其中,参数a在0到4之间取值 对应的 Logistic选代为 xn+1=ax1(1-xn,x∈(0,1)2a∈(0,4) 本节就以 Logistic选代为例,讨论揭示选代数列规律的图 形方法。你将会看到某写全新的现象和问题,如分岔、混沌 等古怪现象 先求不动点:令x=f(x)=ax(1-x),解得两个不 动点x=0与 再分析选代规律 (1)若a∈(0,1),则 因为“v0<x<1总有0<x(1-x)<1”,从而xl 所以,对于任意初值0<x。<1,都收敛于不动点0 (2)若a∈[1,3),则对于任意初值0<x<1,都收敛于 不动点1-(1/a); (3)若a∈[34],则迭代规律很乱,对于不同的a分别呈 现诸如收敛、周期性震荡、分岔、混沌之类的从有规律到无 规律、又从无规律到有规律等等的非常复杂的、有趣的、怪 异的现象。 定义:若迭代数列中,当下标n充分大时,每隔k 个数就出现周期性重复,则称此迭代为k一周期。 下面介绍刻画迭代数列规律的三种图形方法 1.线性联结图 横坐标:n=01,2,3,纵坐标:xn=x,x,x2,x3, 把向邻的点用折线联结。看书P26图
代函数 f (x) 的一个不动点。 对于同一个 f (x) ，其不动点不一定存在、不一定唯一。 在某个不动点附近取初值，迭代可能收敛于这个 不动点，称它为吸引的（如例 1 中的不动点 1）；也可能 远离此不动点，称它为排斥的（如例 1 中的不动点 0）。 §3—2 用图示法体现迭代数列的规律 线性迭代： f (x) = ax + b 二次函数迭代： f x = ax + bx + c 2 ( ) 一种特殊的二次函数迭代：著名的 Logistic 函数 f (x) = ax(1− x)，其中，参数 a 在 0 到 4 之间取值 对应的 Logistic 迭代为 (1 ), (0,1), (0,4). xn+1 = axn − xn x0 a 本节就以 Logistic 迭代为例，讨论揭示迭代数列规律的图 形方法。你将会看到某写全新的现象和问题，如分岔、混沌 等古怪现象。 先求不动点：令 x = f (x) = ax(1− x) ，解得两个不 动点 x = 0 与 . 1 1 a x = − 再分析迭代规律： （1） 若 a (0,1) ，则 因为“ 0 x 1 总有 0 x(1− x) 1 ”，从而 →0 n xn a ， 所以，对于任意初值 0 x0 1 ，都收敛于不动点 0； （2）若 a [1,3) ，则对于任意初值 0 x0 1 ，都收敛于 不动点 1− (1 a) ； （3）若 a [3,4] ，则迭代规律很乱，对于不同的 a 分别呈 现诸如收敛、周期性震荡、分岔、混沌之类的从有规律到无 规律、又从无规律到有规律等等的非常复杂的、有趣的、怪 异的现象。 定义：若迭代数列中，当下标 n 充分大时，每隔 k 个数就出现周期性重复，则称此迭代为 k—周期。 下面介绍刻画迭代数列规律的三种图形方法 1．线性联结图 横坐标： n = 0,1,2,3,..... 纵坐标： , , , ,....... 0 1 2 3 x x x x x n = 把向邻的点用折线联结。 看书 P26 图
画图3.1的程序为 8x(1)=0 x(+1)=a*x()*(1-x(1), plo(0:20,x) 画图3.2的程序为 a=[32,3.5,3.56443.8284]y=0.2*[1,1,1,1] end x(1,)=y x(计+1,)=a.*x(1:)*(1-x(1:) end belote(2,2,1)plot(020,(x(;1) subplot(2,2,2)plot(020,(x(:,2) subplot(2, 2, 3 ),plot(0: 20, (x( 3))) plot(2,2,4.plot(020,(X(:4) 从线性联结图上,看不出当 44 时, logistic迭代到底是几一周期的?用下面蛛网图就 可以看清楚。 2.蛛网图 先计算出 再做下列工作: (1)画曲线y=ax(1-x),x∈[0,和直线y=x; (2)出发点A(x10x 过A做竖直线交曲线于点B(x100x0o),过B做水平 线交直线于新的点A(x010100):过新A做竖直线 交曲线于新的点B(x0o1xo0),过新B做水平线交直 线于新的点A(x100,x00);重复多次。 画图34中第3个图的程序为 hold =0:0.05:1y=3.5644*X*(1-x) plot(x, y),plot([o, 1][0,1D a=35644x=0.2; =a*x*(1-x) end 3.5644*X.*(1-x) plot(Ix, x].x,y D),plot(lx, yD
画 图 3.1 的程序为： a=3.8;x(1)=0.2; for i=1:20 x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i)); end plot(0:20,x) 画 图 3.2 的程序为： a=[3.2,3.5,3.5644,3.8284];y =0.2*[1,1,1,1]; for i=1:10000 y=a.*y.*(1-y); end x(1,:)=y; for i=1:20 x(i+1,:)=a.*x(i,:).*(1-x(i,:)); end subplot(2,2,1),plot(0:20,(x(:,1))') subplot(2,2,2),plot(0:20,(x(:,2))') subplot(2,2,3),plot(0:20,(x(:,3))') subplot(2,2,4),plot(0:20,(x(:,4))') 从线性联结图上，看不出当 a=3.5644, a=3.8284 时，Logistic 迭代到底是几---周期的？ 用下面蛛网图就 可以看清楚。 2．蛛网图 先计算出 10000 x ，再做下列工作： （1）画曲线 y = ax(1− x), x[0,1] 和直线 y = x ； （2） 出发点 ( , ) 10000 10000 A x x ， 过 A 做竖直线交曲线于点 ( , ) 10000 10001 B x x ，过 B 做水平 线交直线于新的点 ( , ) 10001 10001 A x x ；再过新 A 做竖直线 交曲线于新的点 ( , ) 10001 10002 B x x ，过新 B 做水平线交直 线于新的点 ( , ) 10002 10002 A x x ；重复多次。 画 图 3.4 中第 3 个图 的程序为： hold on x=0:0.05:1;y=3.5644*x.*(1-x); plot(x,y),plot([0,1],[0,1]) a=3.5644;x=0.2; for i=1:10000 x=a*x*(1-x); end for i=1:20 y=3.5644*x.*(1-x); plot([x,x],[x,y]),plot([x,y],[y,y]) x=y;
hold off 从蛛网图34容易看出,周期分别是2、4、8、3 3.费根鲍姆图 为了研究 Logistic函数f(x)=ax(1-x)中参数a对 迭代的影响,现以参数a为横坐标、以xn为纵坐标作 图。(为体现规律,从迭代了10000次以后的点开始)。 画图3.6的程序为 a=[29,3.2,3.5,3.5644,3.7,3.8284]x=0.2*[1,1,1,1,1,1l fori=1:10000 end hold on fori=1:1000 (1-x) for j=1: 6 plot(a(, Xo) hold off §3-3分岔与混沌 上一节内容表明迭代结果很敏感地受到参数a的 影响,利用费根鲍姆图可以很直观地刻画这种影响 现令a从2到4以步长h=002逐步取值,对a的每个 值都画出迭代了10000项后的1000项的费根鲍婿图。 见书P30图3.7,借此可分析得到一些结果 画图3.7的程序为 a=20.024x=0.2*ones(1,101), forF=1:10000 a*x.*(1-x) hold fori=1:1000 *x*(1-x), forj=1:101 plot(a(,xo) d end hold off 1.倍周期 当a<3时, 为1—周期(即收敛) 当3≤a≤344时,为2—周期 当345≤a≤3.54时,为4周期 当355≤a≤3.56时,为8周期 称这种现象为倍?_周期现象。 2.分岔
end hold off 从蛛网图 3.4 容易看出，周期分别是 2、4、8、3. 3．费根鲍姆图 为了研究 Logistic 函数 f (x) = ax(1− x) 中参数 a 对 迭代的影响，现以参数 a 为横坐标、以 n x 为纵坐标作 图。（为体现规律，从迭代了 10000 次以后的点开始）。 画 图 3.6 的程序为： a=[2.9,3.2,3.5,3.5644,3.7,3.8284];x =0.2*[1,1,1,1,1,1]; for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x); end hold on for i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:6 plot(a(j),x(j)) end end hold off §3—3 分岔与混沌 上一节内容表明迭代结果很敏感地受到参数 a 的 影响，利用费根鲍姆图可以很直观地刻画这种影响。 现令 a 从 2 到 4 以步长 h=0.02 逐步取值，对 a 的每个 值都画出迭代了 10000 项后的 1000 项的费根鲍姆图。 见书 P30 图 3.7，借此可分析得到一些结果。 画 图 3.7 的程序为： a=2:0.02:4;x =0.2*ones(1,101); for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x); end hold on for i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:101 plot(a(j),x(j)) end end hold off 1．倍周期 当 a 3 时， 为 1—周期（即收敛） 当 3 a 3.44 时， 为 2—周期 当 3.45 a 3.54 时，为 4—周期 当 3.55 a 3.56 时，为 8—周期 称这种现象为倍 2—周期现象。 2．分岔
随着a的增大,每过一段,图形就会分岔,分岔 的本质就是周期扩大2倍。 从1—周期分裂成2—周期的分岔点为a=3 从2—周期裂成4周期分岔点记为a=a≈3449; 从4周期裂成8周期分岔点记为a=a2≈35445 从8—周期裂成16—周期分岔点记为a=a1≈3.5645 2—周期的区段长为d1=a1-3≈0.449; 4周期的区段长为d2=a2-a1≈00955 8周期的区段长为d3=a3-a2≈0.02; 通常,记2—周期的区段长为d费根鲍姆发 现了下面结果 im,=4669201609.(此数称为费根鲍姆数 3.混沌 当a≥3.57时,迭代无规律,进入混沌。 在很狭窄的区段3738<a<3.743上,迭代呈现出 3—周期、倍3—周期(即6—周期、12—周期等) 在另一个很狭窄的区段3828<a<3850上,迭代 呈现出5—周期、倍5—周期(即10—周期、20—周期等)。 §3-4二元函数迭代 由两个二元函数f(x,y)g(x,y)构造的迭代为 xm1=f(n, yu), yu=g(xn,yu,) 此迭代将产生两个数列n}{yn},可用前面的图形法 研究此迭代。 若f(u,v)=l,g(u,)=v,则称(u,)为二元迭代函 数(f,g)的不动点 1.高斯算术几何平均数列 由两个二元函数f(xy)=(x+y)/2,g(x,y)=√xy构 造迭代xn1=(xn+yn)2,yn=√xnn,产生的数列 xn}{vn}就是著名的高斯算术几何平均数列 有无穷多个不动点:(x,x),x≥0 结论1:对于任给的初值x≥0,y≥0,高斯算术
随着 a 的增大，每过一段，图形就会分岔，分岔 的本质就是周期扩大 2 倍。 从 1—周期分裂成 2—周期的分岔点为 a=3； 从 2—周期裂成 4—周期分岔点记为 a = a1 3.449 ； 从 4—周期裂成 8—周期分岔点记为 a = a2 3.5445 ； 从 8—周期裂成 16—周期分岔点记为 a = a3 3.5645 ； 2—周期的区段长为 d1 = a1 −3 0.449 ； 4—周期的区段长为 d2 = a2 − a1 0.0955 ； 8—周期的区段长为 d3 = a3 − a2 0.02 ； 通常，记 k 2 —周期的区段长为 . k d 费根鲍姆发 现了下面结果： lim 4.669201609...... 1 = + → k k k d d （此数称为费根鲍姆数） 3．混沌 当 a 3.57 时，迭代无规律，进入混沌。 在很狭窄的区段 3.738 a 3.743 上，迭代呈现出 3—周期、倍 3—周期（即 6—周期、12—周期 等）。 在另一个很狭窄的区段 3.828 a 3.850 上，迭代 呈现出 5—周期、倍 5—周期（即 10—周期、20—周期 等）。 §3—4 二元函数迭代 由两个二元函数 f (x, y), g(x, y) 构造的迭代为 ( , ), ( , ). n 1 n n n 1 n n x = f x y y = g x y + + 此迭代将产生两个数列 xn,yn ，可用前面的图形法 研究此迭代。 若 f (u,v) = u, g(u,v) = v ，则称 (u,v) 为二元迭代函 数 ( f , g) 的不动点。 1．高斯算术几何平均数列 由两个二元函数 f (x, y) = (x + y)/ 2, g(x, y) = xy 构 造迭代 ( )/ 2, . n 1 n n n 1 n n x = x + y y = x y + + 产生的数列 xn,yn 就是著名的高斯算术几何平均数列。 有无穷多个不动点：(x, x),x 0 . 结论 1：对于任给的初值 x0 0, y0 0 ，高斯算术
几何平均数列总收敛,且 lim x=lmyn,极限值依赖 于两个初值x0,y 结论2:Imxn=lmyn 2G cos x+ 2.旋转数列 0≤a<+∞,xn1=a(xn-√3y)yn1=a(3xn+yn 有一个不动点:(0,0) 结论:(1)a∈[0.0.5)时,对任意初值,此迭代都 收敛于不动点(0,0);(2)a∈[0.5,+∞)时,对任意 初值,此迭代都不收敛 3.海伦数列 看书图 作业:P37操练一
几何平均数列总收敛，且 n n n n x y lim = lim ，极限值依赖 于两个初值 0 0 x , y 结论 2： G x yn n n n 2 lim lim = = ， + = 2 0 2 2 0 2 2 0 . cos sin 1 dx x x y x G 2．旋转数列 0 a +， ( 3 ), ( 3 ). n 1 n n n 1 n n x = a x − y y = a x + y + + 有一个不动点：（0，0） 结论：（1） a [0,0.5) 时，对任意初值，此迭代都 收敛于不动点（0，0）；（2） a [0.5,+) 时，对任意 初值，此迭代都不收敛。 3．海伦数列 看书 图 作业： P37 操练一
