武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第9章 矩阵特征值问题的数值方法（9.5）乘幂法和QR算法

95乘幂法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征 值及相应特征向量的算法

9.5 乘幂法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征 值及相应特征向量的算法

9.5.1求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 设A是n阶矩阵,其n个特征值按模从大到 小排序为 2|>2242…≥21 又假设关于A1,A2,…,An的特征向量 1,V2,…,vn线性无关

9.5.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法 • 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到 小排序为     1 2 3     n 又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关

任意取定初始向量x x=a11+a212+…+anvn(1≠0) 建立迭代公式: Ax Av,+ +…+a.A 11+a2V2+…+annn x 2=Ax=Axo=a,v+a2n2v2 +e+a, nv

任意取定初始向量x0 0 1 1 2 2 1 ( 0) n n x a v a v a v a = + + +  1 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 n n n n n x Ax a Av a Av a Av a v a v a v    = = + + + = + + + 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 2 2 2 n n n x Ax A x a v a v a v = = = + + +    ………….. 建立迭代公式： k k 1 x Ax = −

Ax 2v1+a2v2+…+an2b x{av+a2()v2+…+()vn 因为 <1(=2,3. 故当k→时,X→Aa1y1 因此,ⅹ可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点,当入11(或Ax1k1时){Vk中不 为零的分量将随K的增大而无限增大,计算机就可 能出现上溢(或随K的增大而很快出现下溢)

因为 1( 2,3, , ) 1 i n i  =    故当k→∞时， xk→λ1 ka1v1 . 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点，当|1 |>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢） 1 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 [ ( ) ( ) ] k k k k k k n n n k k k n n x Ax A x a v a v a v a v a v v         = = = + + + − = + + +

因此,在实际计算时,须按规范法计算 每步先对向量x进行“规范化”。迭代 格式改为 k k Az1,k=0,1

因此，在实际计算时，须按规范法计算， 每步先对向量xk进行“规范化”。迭代 格式改为 1 , 0,1, k k k k k x z x x Az k  + = = =

对任意给定的初始向量x0 =b+b2V2+…+b x=A 021 A 类似地 z,= 0 k 0

对任意给定的初始向量x0 类似地 1 0 1 0 1 1 0 , || || || || x Az x Az z x Az   = = = 0 0 1 1 2 2 0 n n x z b v b v b v x  = = + + + 0 0 || || k k k A z z A z  =

2b+b()v2+…+b()vn ‖bv2+b2()n2+…+b1()n‖ 当入1>0时4 k 6,vil 当入± bv1‖

当1>0时 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) | | || ( ) ( ) || k k n k n n k k k k n n n b v b v b v z b v b v b v           + + + = + + + 1 1 1 | | k k   = 1 1 1 1 || || k b v z b v  → 1 1 1 1 || || k b v z b v  →  当1<0时 1 1 1 | | k k   = 

按模最大特征值λ及其相应的特征向量v1 的乘幂法的计算公式 k k+1 k k+1 k+1 k az k kk

按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1 的乘幂法的计算公式： 1 1 1 1 , 0,1, k k k k k T T k k k k k T T k k k k x z x x Az z x z Az z z z z k   + + + = = = = =

97QR方法 QR方法在特征值计算问题的发展上具有 里程碑意义。在1955年的时候人们还觉 得特征值的计算是十分困扰的问题,到 1965年它的计算基于QR方法的程序 已经完全成熟。直到今天QR方法仍然是 特征值计算的有效方法之

9.7 QR方法 QR方法在特征值计算问题的发展上具有 里程碑意义。在1955年的时候人们还觉 得特征值的计算是十分困扰的问题，到 1965年它的计算——基于QR方法的程序 已经完全成熟。直到今天QR方法仍然是 特征值计算的有效方法之一