§6-1§6-2§6-4医用薄膜的渗透率 1.问题提出 某种医用薄膜允许某一种物质的分子穿透它。为 了测试穿透能力,现用面积为S的医用薄膜将一个容 器分割,两边分别装满包含该物质的浓度不同的溶液, 这样,该物质的分子就会从高浓度溶液穿过医用薄膜 向低浓度溶液扩散。通过茔位面积薄膜的分子扩散速 度与两边溶液的浓度之差成正比,比例系数K表征了 该物质分子穿透该医用薄膜的能力,称为渗透率。定 时测量某一边的浓度,可以确定渗透率K的值,请你 们建立数学模型,给出计算K的方法,并利用下面 组实验数据做数值实验。 医用薄膜两侧的溶液体积均是1000cm3,医用薄 膜的面积是10cm2,测试得如下数据(其中时刻t的单 位是“百秒”,浓度C的单位是“10mg/cm3”) 5678910 C:4544.99,5.35,565,590.6.10,626,639,6.50,6.59 2.问题假设 (1)在薄膜的每侧,该物质分子在溶液中均匀分布; (2)当两侧的浓度不等时,物质分子总是从高浓度 向低浓度穿透扩散; (3)通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液 的浓度之差成正比 (4)薄膜是双向同性的,即从任何一侧向另一侧渗 透的性能相同。 3.符号说明 K:薄膜的渗透率; ,VB:分别是薄膜两侧的溶液体积; S:分割两侧溶液的薄膜面积 a1,a:分别是薄膜两侧在初始时刻的溶液浓度; CA(t)C(t):分别是薄膜两侧在t时刻的溶液浓度 4.问题分析 先用机理分析的方法,确定CA(t)CB(1)的函数表 达式(式中含待定参数);再用测试分析的方法,借助题 给数据,确定那些待定参数。 (1)在时间段[t,t+△A门]内,某一侧物质增加量为 VCA(t+△)-VCA(t) 同一时间段,从另一侧渗透过来的物质量是 K·S·(CB()-C4()·△
§6—1 §6—2 §6—4 医用薄膜的渗透率 1．问题提出 某种医用薄膜允许某一种物质的分子穿透它。为 了测试穿透能力，现用面积为 S 的医用薄膜将一个容 器分割，两边分别装满包含该物质的浓度不同的溶液， 这样，该物质的分子就会从高浓度溶液穿过医用薄膜 向低浓度溶液扩散。通过单位面积薄膜的分子扩散速 度与两边溶液的浓度之差成正比，比例系数 K 表征了 该物质分子穿透该医用薄膜的能力，称为渗透率。定 时测量某一边的浓度，可以确定渗透率 K 的值，请你 们建立数学模型，给出计算 K 的方法，并利用下面一 组实验数据做数值实验。 医用薄膜两侧的溶液体积均是 1000 3 cm ，医用薄 膜的面积是 10 2 cm ，测试得如下数据（其中时刻 t 的单 位是“百秒”，浓度 C 的单位是“ 3 3 10 mg / cm − ”）： t ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C：4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59 . 2．问题假设 （1）在薄膜的每侧，该物质分子在溶液中均匀分布； （2）当两侧的浓度不等时，物质分子总是从高浓度 向低浓度穿透扩散； （3）通过单位面积薄膜的分子扩散速度与两边溶液 的浓度之差成正比； （4）薄膜是双向同性的，即从任何一侧向另一侧渗 透的性能相同。 3．符号说明 K ：薄膜的渗透率； VA VB , ：分别是薄膜两侧的溶液体积； S ：分割两侧溶液的薄膜面积； A B , ：分别是薄膜两侧在初始时刻的溶液浓度； C (t),C (t) A B ：分别是薄膜两侧在 t 时刻的溶液浓度； 4．问题分析 先用机理分析的方法，确定 C (t),C (t) A B 的函数表 达式（式中含待定参数）；再用测试分析的方法，借助题 给数据，确定那些待定参数。 （1）在时间段 [t,t + t] 内，某一侧物质增加量为 V C (t t) V C (t) A A + − A A 同一时间段，从另一侧渗透过来的物质量是 K S C t C t t ( B ( ) − A ( ))
二者相等,得dC()KS =(CB(m)-C4(0)(1)式 dt (2)初始时刻,物质总量是VaA+VgaB 任意t时刻,物质总量是VC()+VCg( 二者相等,得CB()=a+a4-CA()(2)式 将(2)式代入(1)式得 dC,(0) dt 再结合初值C(O)=a1,解微分方程得 CA()= +2+2(01-.(÷ a v+a 5.数学模型 记a V,+aR VR(a-ar v+p 得 C,(0=a+be-c 根据此模型,再利用测量所得数据(t2C)=1,2,,n, 用最小二乘法估算参数a,b,c的值,从而可得K的值。 5.数值实验 利用题给数据(t2C)=1,2,910,用最小二乘法 估算参数ab,c的值,并给出节点t,i=1,2,,9,10处的 总误差、∑(a+be-C}.Mtab程序如下。 先建立并保存函数文件:文件名syp79hsw内容为: function f=syp79hswj(a, x0) f=a(1)+a(2)°exp(-a(3)*xO) 再做下面主程序(文件名syp79) clear x0=1:10y0=4.54,4.99,5.35,565,590.6.10,626,6396.5 06.59]; for =1:10 plot(xo(i), yo(), a=lsqcurvefit('syp79hswj, cscz, xO, yO) x0: 0.2: 11; f-syp79hswj(a, x): plot(x, f) f=syp79hswj(a, x0);
二者相等，得 ( ( ) ( )) ( ) C t C t V KS dt dC t B A A A = − (1)式 （2）初始时刻，物质总量是 VA A +VBB 任意 t 时刻，物质总量是 V C (t) V C (t) A A + B B 二者相等，得 ( ) C (t) V V V V C t A B A A B A B = B + − (2)式 将(2)式代入(1)式得 ( ) 0 ( ) 1 1 = − + + + A B B A A A B A V V C t SK V V SK dt dC t 再结合初值 CA = A (0) ，解微分方程得 t V V SK A B B A B A B A A B B A A B e V V V V V V V C t − + + − + + + = 1 1 ( ) ( ) 5．数学模型 记 = + + − = + + = A B A B B A B A B A A B B V V c SK V V V b V V V V a 1 1 , ( ) , ， 得 ct CA t a be− ( ) = + 根据此模型，再利用测量所得数据 (t i ,Ci ),i =1,2,...,n ， 用最小二乘法估算参数 a,b,c 的值，从而可得 K 的值。 5．数值实验 利用题给数据 (t i ,Ci ),i =1,2,...,9,10 ，用最小二乘法 估算参数 a,b,c 的值，并给出节点 t i ,i =1,2,...,9,10 处的 总误差 ( ) . 0 2 = − + − m i i ct a be i C Matlab 程序如下。 先建立并保存函数文件：文件名 syp79hswj 内容为： function f=syp79hswj(a,x0) f=a(1)+a(2)*exp(-a(3)*x0); 再做下面主程序(文件名 syp79)： clear x0=1:10;y0=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.5 0,6.59]; for i=1:10 plot(x0(i),y0(i),'+') end cscz=[1,1,1]; a=lsqcurvefit('syp79hswj',cscz,x0,y0) x=0:0.2:11;f=syp79hswj(a,x);plot(x,f) f=syp79hswj(a,x0);
t(sum((f-yO. 2) 执行得:a=69811,b=-2.9918,c=0.2031 节点处总误差=00077 由c=S+|=02031得K=10.155 5.5 §6-5曲面拟合 前面是关于一元函数的最小二乘,称为曲线拟合。 推而广之,关于二元函数的最小二乘,称为曲面拟合 z是依赖于两个自变量x,y的二元函数,采集到的 数据是(x,y,)=12…,m,通过建立数学模型已经 得到函数结构z=f(x,y),此函数中含有几个待定参 数a1,a2,an,现在的任务是:确定参数的值,使得在 节点处的总误差∑(x,x)-)达到最小。对于 元情况,用 Matlab求解的方法与一元情况几乎相同 例:经济增长模型Q=Q(K,L)=aK,其中Q、 K、L分别是生产值、资金、劳动力,a,aα,B是待定参 数(这个模型可以初步反映资本主义早期的经济规律)。书P85给 出了美国马萨诸塞洲19001926年的关于此模型中 Q、K、L的统计数据。请估计参数a,a,B的值。 先建立并保存函数文件:文件名syp85hsw内容为 function f=syp85hswj(a, x0) f=a(1)*xO(1,).^a(2).*xO(2,).^a(3) (其中,数组a对应a,a,B,矩阵x0的第1、第2行分 别对应K的数组、L的数组) 再做下面主程序(文件名syp85 cle xO=[104,1.06,1,16,1.22,1.27,1.37144,1,53,1.57,2052.5
wc=sqrt(sum((f-y0).^2)) 执行得：a=6.9811, b= -2.9918, c=0.2031 节点处总误差=0.0077 由 = + VA VB c SK 1 1 =0.2031 得 K=10.155 §6—5 曲面拟合 前面是关于一元函数的最小二乘，称为曲线拟合。 推而广之，关于二元函数的最小二乘，称为曲面拟合。 z 是依赖于两个自变量 x, y 的二元函数，采集到的 数据是 (xi , yi ,zi ),i =1,2,...,m ，通过建立数学模型已经 得到函数结构 z = f (x, y) ，此函数中含有几个待定参 数 a a an , ,..., 1 2 ，现在的任务是：确定参数的值，使得在 节点处的总误差 = − m i i i i f x y z 0 2 ( ( , ) ) 达到最小。对于二 元情况，用 Matlab 求解的方法与一元情况几乎相同。 例：经济增长模型 Q = Q(K,L) = aK L ，其中 Q、 K、L 分别是生产值、资金、劳动力， a,, 是待定参 数（这个模型可以初步反映资本主义早期的经济规律）。书 P85 给 出了美国马萨诸塞洲 1900—1926 年的关于此模型中 Q、K、L 的统计数据。请估计参数 a,, 的值。 先建立并保存函数文件：文件名 syp85hswj 内容为： function f=syp85hswj(a,x0) f=a(1)*x0(1,:).^a(2).*x0(2,:).^a(3); （其中，数组 a 对应 a,, ，矩阵 x0 的第 1、第 2 行分 别对应 K 的数组、L 的数组） 再做下面主程序(文件名 syp85)： clear x0=[1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.57,2.05,2.5
1,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.614.10,4.36,4.774.754.54 4.584.58,4.54;1.05,1.08,1.18,1,22,1.17,1 59,166,1.68,1.65,1.62,1.86,1,93 1.96,1.95,1,90,1,58,167,182,1.60,1,61,1,64] z0=[105,1.18,1.29,1,30,1.30,1,42,1.50,1.52,1.46,160,1.6 1.81,193,1,95,201,2.00,2.09,1,96,2,20,2.12,2.16,2.08, 224,2.56,2.34,2.45,2.58] cScz=[0.1,0.1,0.1] a=lsqcurvefit('syp85hswj, cscz, x0, zo) f-syp85hswj(a, x0); x1: 0.2: 4.8 y=1: 0. 1: 2 X, YFmeshgrid(x,y); Z=a(1)*X.^a(2)*Y^a(3) sh(X, Y, z) 执行得:a=1.224704612-0.1278 即a,a,B分别为1.2247、0.4612、-0.1278 节点(共27个)处的总误差0.6504
1,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.61,4.10,4.36,4.77,4.75,4.54, 4.54,4.58,4.58,4.58,4.54;1.05,1.08,1.18,1.22,1.17,1.30,1. 39,1.47,1.31,1.43,1.58,1.59,1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93 ,1.96,1.95,1.90,1.58,1.67,1.82,1.60,1.61,1.64]; z0=[1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.46,1.60,1.6 9,1.81,1.93,1.95,2.01,2.00,2.09,1.96,2.20,2.12,2.16,2.08, 2.24,2.56,2.34,2.45,2.58]; cscz=[0.1,0.1,0.1]; a=lsqcurvefit('syp85hswj',cscz,x0,z0) f=syp85hswj(a,x0); wc=sqrt(sum((f-z0).^2)) x=1:0.2:4.8;y=1:0.1:2;[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=a(1)*X.^a(2).*Y.^a(3); Mesh(X,Y,Z) 执行得： a =1.2247 0.4612 -0.1278 即 a,, 分别为 1.2247、0.4612、-0.1278 节点（共 27 个）处的总误差 0.6504