第二章飞机如何定价-方程求解 §2—1问题的实际背景 全球飞机制造业的两大巨头 波音(美国):空中客车(欧洲:法、德、英等)。 看书P7 §2-2问题及其数学模型 1.问题提出 某大型的飞机制造公司,研发了一种新型客机,投放市 场,如何定价? 2.问题分析 开办公司就是为了赢利,具体到本问题,就是确定合适 的飞机价格使利润最大。主要考虑的因素有:飞机的制造成 本;公司的生产能力;飞机的销售数量:同行(即竞争对手) 的行为:市场占有率:等等。 3.假设及建立模型 (1)几个大的飞机制造公司共同垄断市场,并在价格上形 成联合 (2)本模型只考虑一种型号的飞机 (3)该型飞机在全球的总销售量N是由飞机的单价p(即 价格)决定的。根据以往对销售规律、需求规律的统计分析, 该公司预测得到,N依赖于p的规律为 N=N(p)=-78p+655p+125 (4)因为几大公司形成联合,所以,在总销售量N中,各 个公司所占的比例(以下简称:市场占有率)与P无关。故 假设该公司的市场占有率是常数h (5)假设该公司具有足够的生产能力满足需求。需求量(即 销售量)记为x,则有x=h·N (6)进过评估得,该公司该型飞机的制造成本C为 (7)利润R等于制造成本减去销售收入,即 R= 建立模型的目标是:求p使R最大。根据上述七条假 设可得如下数学模型 px-C(x) s!.x=(-78p2+655p+125) (1)式 C(x)=15x+8x73+50 其中,h为常数,P为自变量,R为因变量 模型求解 根据“微积分学”一元函数R=R(P)在=0时取得
第二章 飞机如何定价----方程求解 §2—1 问题的实际背景 全球飞机制造业的两大巨头： 波音（美国）； 空中客车（欧洲：法、德、英等）。 看书 P7 §2—2 问题及其数学模型 1．问题提出 某大型的飞机制造公司，研发了一种新型客机，投放市 场，如何定价？ 2．问题分析 开办公司就是为了赢利，具体到本问题，就是确定合适 的飞机价格使利润最大。主要考虑的因素有：飞机的制造成 本；公司的生产能力；飞机的销售数量；同行（即竞争对手） 的行为；市场占有率；等等。 3．假设及建立模型 （1）几个大的飞机制造公司共同垄断市场，并在价格上形 成联合。 （2）本模型只考虑一种型号的飞机。 （3）该型飞机在全球的总销售量 N 是由飞机的单价 p（即 价格）决定的。根据以往对销售规律、需求规律的统计分析， 该公司预测得到，N 依赖于 p 的规律为 ( ) 78 655 125 . 2 N = N p = − p + p + （4）因为几大公司形成联合，所以，在总销售量 N 中，各 个公司所占的比例（以下简称：市场占有率）与 P 无关。故 假设该公司的市场占有率是常数 h。 （5）假设该公司具有足够的生产能力满足需求。需求量（即 销售量）记为 x ，则有 x = h N . （6）进过评估得，该公司该型飞机的制造成本 C 为 ( ) 1.5 8 50 . 0.75 C = C x = x + x + （7）利润 R 等于制造成本减去销售收入，即 R = px −C(x) . 建立模型的目标是：求 p 使 R 最大。根据上述七条假 设可得如下数学模型： ( ) 1.5 8 50 . . . ( 78 655 125), max ( ), 0.75 2 = + + = − + + = − C x x x st x h p p R px C x (1)式 其中，h 为常数，P 为自变量，R 为因变量。 4．模型求解 根据“微积分学”，一元函数R = R( p)在 = 0 dp dR 时取得
最大值。根据模型(1)式,可得下面方程 78p2+655P+125)+h(P-1.5-156p+655) h1(-78p2+655p+125)02(-156+655)=0(2)试式 怎样求这个方程的根?暂停1 §2-3方程求根的数值方法 求方程f(x)=0的根,用传统的数学表达式推演而得到准 确根,这样的方法只能解极少数简单方程。对于大量的由实 际问题而产生的方程,就得用数值方法借助计算机给出近似 1.图形放大法 y=f(x)图象与x轴交点(的横坐标)即为f(x)=0根。 借助计算机,逐步画图,就可得近似根。 例:求x5+2x2+4=0的全部实根,精度￡=0001 解:看书pl之图。从第一个图得根在-2,2]}:第二个图 得根在[-2,-1]:第三个图得根在-17,-1.5]:依次放大画图 根在-1.55,-1.53;根在-1.545,-1.542]:根在[-1.5438-1.5435] 结果:只有一个实根 1.5438-1.5435 1.54365,误差为0.00015 2.数值迭代逼近法 (1)区间迭代法 已知[ab]为有根区间:一分为二,比较三个数 f(a),f(-),f(b) 的正负,根据“介值定理”确定哪一半有根:重复多次。 例:求x3+2x2+4=0的全部实根。 解:[-2,2]为有根区间,一分为二[-2,0[02], f(-2)0,f(2)>0,故[-2,0内有根 再一分为二[-2-1],[-1,0], f(-2)0,f(0)>0,故[-2-1]内有根 再一分为二[-2,-1.51,[-15,-1],略 (2)点迭代法 一般迭代法:将f(x)=0适当变形为x=(x),在根的邻 近找一个点x作为初始点,作迭代x+1=p(xk),若数列{xk} 收敛,则极限值就是准确根。 例:求x3+2x2+4=0的全部实根 解:方程变形为x=-(2x2+4)5=(x), 取x=-1.55作选代x+1=p(x)=-(2x2+4)5,得数列
最大值。根据模型(1)式，可得下面方程 6 ( 78 655 125) ( 156 655) 0 (2)式 ( 78 655 125) ( 1.5)( 156 655) 0.75 2 0.25 2 − + + − + = − + + + − − + − − h p p p h p p h p p 怎样求这个方程的根？ 暂停！ §2—3 方程求根的数值方法 求方程 f(x)=0 的根，用传统的数学表达式推演而得到准 确根，这样的方法只能解极少数简单方程。对于大量的由实 际问题而产生的方程，就得用数值方法借助计算机给出近似 根。 1．图形放大法 y = f (x) 图象与 x 轴交点（的横坐标）即为 f (x) = 0 根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。 例：求 2 4 0 5 2 x + x + = 的全部实根，精度 = 0.001 解：看书 p11 之图。从第一个图得根在[-2,2]；第二个图 得根在[-2,-1]；第三个图得根在[-1.7,-1.5]；依次放大画图。 根在[-1.55,-1.53]；根在[-1.545,-1.542]；根在[-1.5438,-1.5435] 结果：只有一个实根 1.54365 2 1.5438 1.5435 = − − − ，误差为 0.00015 . 2．数值迭代逼近法 （1）区间迭代法 已知[a,b]为有根区间：一分为二，比较三个数 ), ( ) 2 ( ), ( f b a b f a f + 的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。 例：求 2 4 0 5 2 x + x + = 的全部实根。 解：[-2,2]为有根区间，一分为二 [-2,0], [0,2]， f (−2) 0, f (0) 0, f (2) 0 ，故 [-2,0]内有根。 再一分为二 [-2,-1], [-1,0]， f (−2) 0, f (−1) 0, f (0) 0 ，故 [-2,-1]内有根。 再一分为二 [-2,-1.5], [-1.5,-1]， 略。 **（2）点迭代法 一般迭代法：将 f (x) = 0 适当变形为 x = (x) ，在根的邻 近找一个点 0 x 作为初始点，作迭代 ( ) k 1 k x = x + ，若数列 { }k x 收敛，则极限值就是准确根。 例：求 2 4 0 5 2 x + x + = 的全部实根。 解：方程变形为 (2 4) ( ) 5 1 2 x = − x + = x ， 取 x0 = −1.55作迭代 5 1 2 1 = ( ) = −(2 + 4) k + k k x x x ，得数列
0:-1.55000000000000 1:-1.54506186001005 2:-1.54398759072923 1.54375394694797 4 -1.54370313434730 5:-1.54369208380942 6:-1.54368968058527 7:-1.54368915794256 8:-1.54368904428051 9:-1.54368901956179 10:-1.54368901418607 154368901276274 牛顿选代法:方程∫(x)=0,求导f(x),在根的邻近找 个点x作为初始点,作迭代x=~J(x) f(rR) 例:求x5+2x2+4=0的全部实根。 解:f(x)=x3+2x2+4,f(x)=5x4+4x x5+2x2+4 取x=-1.55作迭代x1=x-5x+4x,得数列 0:-1.55000000000000 1:-1.54375068436854 2:-1.54368901864621 3:-1.54368901269208 4:-1.54368901269208 5:-1.54368901269208 §24飞机的最优价格 (上接§2—2最后“暂停”处 现在来求解方程(2成式的根:其中h是常数,在这里必 须给具体数据,不妨取h=05, 看书略 §2-5操练 两个题:操练一比操练二简单
0： -1.55000000000000 1： -1.54506186001005 2： -1.54398759072923 3： -1.54375394694797 4： -1.54370313434730 5： -1.54369208380942 6： -1.54368968058527 7： -1.54368915794256 8： -1.54368904428051 9： -1.54368901956179 10： -1.54368901418607 11： -1.54368901301698 12： -1.54368901276274 牛顿迭代法：方程 f (x) = 0 ，求导 f (x) ，在根的邻近找一 个点 0 x 作为初始点，作迭代 . ( ) ( ) 1 k k k k f x f x x x + = − 例：求 2 4 0 5 2 x + x + = 的全部实根。 解： ( ) 2 4 5 2 f x = x + x + ， ( ) 5 4 . 4 f x = x + x 取 x0 = −1.55 作迭代 k k k k k k x x x x x x 5 4 2 4 4 5 2 1 + + + + = − ，得数列 0： -1.55000000000000 1： -1.54375068436854 2： -1.54368901864621 3： -1.54368901269208 4： -1.54368901269208 5： -1.54368901269208 §2—4 飞机的最优价格 （ 上接 §2—2 最后“暂停”处 ） 现在来求解方程(2)式的根：其中 h 是常数，在这里必 须给具体数据，不妨取 h=0.5, 看书 略 §2—5 操练 两个题：操练一比操练二简单
