5.4内积空间中的最佳平方逼近 内积空间 ·设X为(实)线性空间,在X上定义了内积是指对 X中每一对元素Xy都有一实数,记为(Xy)与之 对应,且这个对应满足: (1)()≥0,当仅当X=0,)=0 (2)(x,y)=(2x),x,y∈X (3)(x,y)=A(x,y),x,y∈X;x∈R, (4(x+ z)=(x,2)+(z),X,DzEX 则称X为内积空间
5.4 内积空间中的最佳平方逼近 • 设X为(实)线性空间，在X上定义了内积是指对 X中每一对元素x,y,都有一实数，记为(x,y)与之 对应，且这个对应满足: • （1）(x,x)≥0，当且仅当x=0时， (x,x)=0; • （2)（x, y）=（y, x），x, y∈X; • （3）（x, y）= ( x, y），x, y∈X； ∈R; • （4）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X • 则称X为内积空间。 一、内积空间
两种重要的内积空间 >n维欧氏空间R,内积就是两向量的数量积 (x,y)=xy=∑Xyr >连续函数空间c[ab],内积可以定义为积分 的运算 或带权函数的积分运算,即 (f(x),g(x)=∫f(x)g(x)dx,f(x)g(x)∈C B(f(x),g x)=p(x)g(x) f(x)dx f(x)g(x)∈c[ab]其中p(x)称为权函数
两种重要的内积空间 ➢n维欧氏空间Rn，内积就是两向量的数量积， 即 • (x，y)=xＴy=∑xi yi . ➢连续函数空间C［a,b］，内积可以定义为积分 的运算 • 或带权函数的积分运算，即 • (f(x),g(x))=∫f(x)g(x) dx, f(x),g(x)∈C ［a,b］ • 或(f(x),g(x))=∫(x)g(x)f(x)dx, f(x),g(x)∈C［a,b］.其中(x) 称为权函数
它满足 ①在[a,b]的任何子区间上积分为正 ·②p(x)≥0,且使p(x)=0的点至多有限 个 ③对f()=1xx2,…,积分∫f(x)p(x) dx存在
它满足： • ①在［a,b］的任何子区间上积分为正； • ② (x) ≥0，且使(x) =0的点至多有限 • ③对f(x)=1,x,x２，…，积分∫f(x)(x) dx存在
几个概念 (1)模(范数):|!<l (x,x) (2)线性赋范空间中两元素xy之间的距离为 dis(x, y)=x-yl2=V-y,x-y) 这种距离也称为2-范数意义下的距离 (3)正交:若(X,y)=0,则称×与y正交
几个概念 (2)线性赋范空间中两元素x,y之间的距离为 （1）模（范数）: 2 ||x|| = (x,x) (3) 正交： 若（x, y）＝0，则称x与y正交 这种距离也称为2-范数意义下的距离 2 dis x y x y x y x y ( , ) ( , ) = − = − −
因此R中两点x与y之间的距离即为 dis(x,)=lx -/l x-y,x-y)=2x-y 连续函数空间C[ab]中f(刈)与g(x)的距离即为 dis(f(x), g(x)=f(x)-g x) =(∫f(x)-g(x)2dx)1/2
连续函数空间C［a,b］中f(x)与g(x)的距离即为 dis (f(x), g(x))=‖f(x)- g(x)‖２ = (∫(f(x)-g(x))２dx )1/2 ➢ ➢ 因此Rn中两点x与y之间的距离即为 2 2 ( , ) ( , ) ( ) i i dis x y x y x y x y x y = − = − − = −
二、内积空间中的最佳平方逼近 设X为线性内积空间,φo,q,…,qn 为X上n+个线性无关元,记由q=0 张成X的子空间为,即 Φ=span{0,φ1…,φn} 定义对任意的g∈X,在X的子空间Φ中,求对g的按2范 数意义下的最佳逼近元S*,即求S*∈Φ,使不等式 dis(s g)=s-g 2sS-gl2(4) 对任意S∈成立 若满足(4)式的S*∈Φ存在,称S为 对g∈X的最佳平方逼近元
二、 内积空间中的最佳平方逼近 • 设X为线性内积空间，０，1 , …， n 为X上n+1个线性无关元，记由{j }j=0 n 张成X的子空间为 • =span{０，1 , …， n }. 对任意的g∈X，在X的子空间中，求对g的按2-范 数意义下的最佳逼近元S* ，即求S*∈， dis(S* ,g)=‖ S* -g‖2≤‖S-g‖２ (4) 对任意S∈成立. 定义 若满足(4)式的S* ∈ 存在，称S*为 对g∈X的最佳平方逼近元
1最佳平方逼近元的存在性 定理5.4.1设X为线性内积空间,由线性 无关组p,q1…,qn张成的线性空间 Φ为X的子空间,任意g∈X,存在S∈Φ 为对g的最佳平方逼近元 Remark线性内积空间X的子空间Φ的 线性无关组φ0,91,…,qn的选取不 同,在Φ中求得对g∈X的最佳平方逼 近元S也不同,求解S'的难易程度也不 同
1.最佳平方逼近元的存在性 定理5.4.1 设X为线性内积空间，由线性 无关组０，1 , …， n张成的线性空间 为X的子空间，任意g∈X，存在S *∈ 为对g的最佳平方逼近元. Remark: 线性内积空间X的子空间的 线性无关组０，1 , …， n的选取不 同，在中求得对g∈X的最佳平方逼 近元S *也不同，求解S *的难易程度也不 同
2.最佳平方逼近元的充要条件 span 对9∈X线性内积空间)的量挂平 方逼近元的充要条件是g-S与一切 q(j=0:1,…n)正交其中p,q1…, qn为X的n+1个线性无关元 定理542中所说的g-与一切φ正交, 是指g-S*与一切响的内积等于零,即 (gS;q)=0.j=01,…,n(5)
2. 最佳平方逼近元的充要条件 • 定理5.4.2 S *∈ =span{０，1 , …， n }为对g∈X (线性内积空间)的最佳平 方逼近元的充要条件是g- S *与一切 j (j=0，1，…，n)正交.其中０，1 , …， n为X的n+1个线性无关元 • 定理5.4.2中所说的g-s *与一切j正交， 是指g-S*与一切j的内积等于零， • (g-S * , j )=0, j=0,1，…，n. (5)
证必要性用反证法设S’∈Φ为对g∈X的最佳平方逼 近元,但g-S不与所有的φkk=01,2,…,n)正交 为方便起见,假定g-S*与q1(0≤i≤n)不正交,即 i=(g-S;q)≠0.令 (x)=S (q) 显然qx)∈Φ,且|!g-q(x)‖l2 =(g-Sg-S)-2/(q)<(g-SgS)=|!-S1|2 这说明S不是对g的最佳平方逼近元,与假设条件矛 盾,所以g-S必须与一切qk(k=01,2,…,n)正交
证 必要性. 用反证法. 设S*∈为对g∈X的最佳平方逼 近元，但g-S*不与所有的k (k=0,1,2,…，n)正交. • 为方便起见，假定g-S*与i (0≤i≤n)不正交，即 • i=(g-S* , i ) ≠0. 令 这说明S*不是对g的最佳平方逼近元，与假设条件矛 盾，所以g- S*必须与一切k (k=0,1,2,…，n)正交. * ( ) ( , ) i i i i q x S = + 显然q(x) ∈,且‖g-q(x)‖２ ２ ＝(g-S * ,g-S * )-i 2/(i , i )<(g-S * ,g-S * )=‖g-S*‖２ ２
充分性仍记s=Σ 对任意的s=Σd∈,有 g-sl22=(g-s, g-s)=(g-S+S-S, g-S+S-s) (g-sg-s)+2(g-ss"-s)+(s-s,s'-s) 而(g-s,S-s)=∑(cd)(g-s;)=0 (s*-s,s-s)≥0 所以‖g-s22≥(g-s'g-s*)=‖!-s 进而有|g-s1l2s|g-s2对任意s∈Φ成立, 即s'为g的最佳平方逼近元
充分性. 仍记s * ＝ ∑cjj . • 对任意的s=∑djj ∈， • ‖g-s‖２ ２=(g-s,g-s)=(g-s *+s*-s,g-s *+s*-s) • ＝(g-s * ,g-s *）+２(g-s * , s*-s)+(s*-s, s*-s) •而 (g-s * , s*-s）=∑(cj-dj )(g-s * ,j )=0 (s*-s, s*-s)0. ‖g-s‖２ ２ (g-s * ,g-s *）= ‖g-s *‖２ ２ 进而有‖g-s *‖２≤‖g-s‖２ 对任意s∈ 成立, 即s *为g的最佳平方逼近元