第一节线性规划的模型与图解法 线性规划问题及其数学模型 在生产管理和经营活动中经常需要解决:如 合理地利用有限的资源,以得到最大的效益
第一节 线性规划的模型与图解法 一、线性规划问题及其数学模型 在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益
例1某工厂可生产甲、乙两种产品,需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下 资源单耗 甲乙 资源限量 资源 煤 4 360 电 200 油 10 300 单位产品价格 12 试拟订使总收入最大的生产方案
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下： 试拟订使总收入最大的生产方案。 资源单耗 产品 资源 甲 乙 资源限量 煤 电 油 9 4 4 5 3 10 360 200 300 单位产品价格 7 12
线性舰型的三要 1.决策变量:需决策的量,即待求的未知数; 2.目标函数:需优化的量,即欲达的目标,用决 策变量的表达式表示; 3.约束条件:为实现优化目标需受到的限制,用 决策变量的等式或不等式表示;
线性规划模型的三要素 3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制，用 决策变量的等式或不 等式表示； 1.决策变量：需决策的量，即待求的未知数； 2.目标函数：需优化的量，即欲达的目标，用决 策变量的表达式表示；
在本例中 决策变量:甲、乙产品的计划产量,记为x,x 目标函数:总收入,记为z则z7x+122,为体现对其 追求极大化,在z的前面冠以极大号Max; 约束条件:分别来自资源煤、电、油限量的约束,和产 量非负的约束,表示为 9x1+4x2<360 4x1+5x2<200 st 3x1+10x2≤300 x1x2≥0
目标函数：总收入，记为z,则z=7x1+12x2，为体现对其 追求极大化，在z 的前面冠以极大号Max； 决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 ； 在本例中 约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束，和产 量非负的约束，表示为 + + + , 0 3 10 300 4 5 200 9 4 360 . . 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x st x , x
解:设安排甲、乙产量分别为x,x2,总收入为2, 则模型为: Maxz=x+12x3 「9x+4x:≤360 4x1+5x2<200 st 3x1+10x2<300 xx2≥0
解：设安排甲、乙产量分别 为 ,总收入为 ， 则模型为： x 1 , x 2 z Maxz = 7 x 1 +12 x 2 + + + , 0 3 10 300 4 5 200 9 4 360 . . 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x s t
线性舰划型的一个是9 目标和约束均为变量的线性表达式 如果模型中出现如 x+2Inx 的非线性表达式,则属于非线性规划
线性规划模型的一个基本特点： 目标和约束均为变量的线性表达式 如果模型中出现如 的非线性表达式，则属于非线性规划。 3 2 2 1 1 2ln x x + x −
例2某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以 大量兴建,各体系资源用量及今年供应量见下表: 资源造价钢材水泥 砖 人工 住宅体系 (元/m2)(公斤m2)(公斤m)(块/m)(工日/m2) 砖混住宅 105 12 110 210 4.5 壁板住宅 135 30 190 3.0 大模住宅 120 25 180 3.5 资源限量1100002000150001470004000 (千元)(吨) (吨)(千块)(千工日) 要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2),求建造方案
例2 某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以 大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表： 要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2 )，求建造方案。 水泥 (公斤/m2 ) 4000 (千工日) 147000 (千块) 150000 (吨) 20000 (吨) 110000 (千元) 资源限量 大模住宅 120 25 180 —— 3.5 壁板住宅 135 30 190 —— 3.0 砖混住宅 105 12 110 210 4.5 人工 (工日/m2 ) 砖 (块/m2 ) 钢材 (公斤/m2 ) 造价 (元/m2 ) 资源 住宅体系
解:设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1x23m2,z为总面积,则本问题的数学模型为 Maxz=xtx2+x3 0.105x1+0.135x2+0.120x≤110000 0.012x1+0.030x2+0.025x3≤20000 0.110x1+0.190x2+0.180x<150000 st 0.210x1≤147000 0.0045x1+0.003x2+0.0035x3≤4000 x2x3≥0 前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型,共用了12个 变量,10个约束条件
解: 设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为 x1,x2,x3 m2 , z为总面积,则本问题的数学模型为: + + + + + + + + , , 0 0.0045 0.003 0.0035 4000 0.210 147000 0.110 0.190 0.180 150000 0.012 0.030 0.025 20000 0.105 0.135 0.120 110000 . 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x st Maxz = x1 + x 2 + x 3 前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个 变量，10个约束条件
练习:某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、 B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。 有关数据如下 饲料 售价 每公斤含营养成分 A B 10 0.1 0 0.1 0.2 N 4 0 0.1 0.20.1 牲畜每日每头需要量04 0.6 2.01.7 试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用 为最少?
练习：某畜牧厂每日要为牲畜购买饲料以使其获取A、 B、C、D四种养分。市场上可选择的饲料有M、N两种。 有关数据如下： 试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用 为最少？ 4 10 售价 牲畜每日每头需要量 0.4 0.6 2.0 1.7 N 0 0.1 0.2 0.1 M 0.1 0 0.1 0.2 每公斤含营养成分 A B C D 饲料
解:设购买M、N饲料各为x,x,贝 Minz=1ox+4x 0.lx1+0x2≥04 0x1+0.1x2≥0.6 st0.1x+0.2x2≥20 0.2x1+0.1x2≥1.7 xx2≥0
解：设购买M、N饲料各为 ，则 Minz =10x1 + 4x 2 + + + + , 0 0.2 0.1 1.7 0.1 0.2 2.0 0 0.1 0.6 0.1 0 0.4 . . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x st 1 2 x , x