第十五章随机模拟技术 第一节引言 模拟的定义 模拟是一种数量技术,它利用计算机化的数学模型来 表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策,来评价 些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。 模拟的意义 复杂的实际问题难于用解析理论处理,需要模拟方法提供 数值解 2理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验,计 算机模拟可代替费用昂贵的试验
第十五章 随机模拟技术 第一节 引言 一、模拟的定义 模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来 表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一 些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。 二、模拟的意义 1.复杂的实际问题难于用解析理论处理，需要模拟方法提供 数值解。 2.理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计 算机模拟可代替费用昂贵的试验
模拟法分类 运筹对策法(主要用于军事对策和企业管理对策。如现 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。) 蒙特卡洛法(这是一种特殊的数值 计算方法。例如求[x)dx,可在矩形内 均匀选随机点,计算落于曲线下阴影部 分的点数n,及矩形内总点数N。易见,近 f(x)d 似的有 f(x)dx =c(b-a) n c(b-a 此法主要用于x)很复杂及多变量积分, 当然也可用于解决随机型问题。)
模拟法分类 一、运筹对策法（主要用于军事对策和企业管理对策。如现 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。） 当然也可用于解决随机型问题。） 此法主要用于 很复杂及多变量积分， 似的有 分的点数 ，及矩形内总点数 。易见，近 均匀选随机点，计算落于曲线下阴影部 计算方法。例如求 ，可在矩形内 二、蒙特卡洛法（这是一种特殊的数值 f(x) ( ) N , f(x)dx ( ) f(x)dx N f(x)dx b a b a b a c b a n c b a n n N = − − = a b c f (x) x
系统模拟法(是用数字对含有随机变量的系统进行 模拟,可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来,蒙特卡 洛法用于静态计算,而系统模拟法用于动态模型计算 我们主要讨论此法。) 我们在排队论中讨论了MMC、MG1等系统,并 用解析方法得出了精确解。但对于到达与服务均为任意 分布的排队系统的求解就不可能用那一套公式和方法
三、系统模拟法（是用数字对含有随机变量的系统进行 模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来，蒙特卡 洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。 我们主要讨论此法。） 我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并 用解析方法得出了精确解。但对于到达与服务均为任意 分布的排队系统的求解就不可能用那一套公式和方法
例1:设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1到10分钟之 间,而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1到6分钟之 间。求顾客在商店所花费的平均时间和售货员空闲时间占全 部工作时间的百分比 分析:到达与服务皆为均匀分布,不能利用MMC或MG/1 的公式。但由于问题的特性 到达间隔:在1-10分钟间均匀分布◇在1-10中等可能取值 →在标有1-10的牌中任抽取 服务时间:在1-6分钟间均匀分布在1-6中等可能取值 ◇→掷均匀的骰子
例1：设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1到10分钟之 间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1到6分钟之 间。求顾客在商店所花费的平均时间和售货员空闲时间占全 部工作时间的百分比。 分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C或M/G/1 的公式。但由于问题的特性： 1-10 1-10 1-10 1-6 1-6 到达间隔：在 分钟间均匀分布 在 中等可能取值 在标有 的牌中任抽取 服务时间：在 分钟间均匀分布 在 中等可能取值 掷均匀的骰子
可用人工方法模拟系统当时的真实情况从而求解。 (用标有1-10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 到达间隔与服务时间的一串数称为随机数,从而推知相关 结果。具体怎样做?) 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知,20名顾 客在系统中的全部时间是68分钟,售货员空闲时间是55分 钟,而售货员从8点至9点57分在班上共117分钟。于是可 得:Ws=68/20=34(分钟)P0=55/117=0.47 (空闲率过大,可加以调整)
可用人工方法模拟系统当时的真实情况从而求解。 （用标有1-10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 到达间隔与服务时间的一串数称为随机数，从而推知相关 结果。具体怎样做?） 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知，20名顾 客在系统中的全部时间是68分钟，售货员空闲时间是55分 钟，而售货员从8点至9点57分在班上共117分钟。于是可 得：WS=68/20=3.4(分钟） P0=55/117=0.47 （空闲率过大，可加以调整）
由此例我们初步了解了系统模拟的方法。其中 的重要步骤是得到一串关于系统中随机规律的随 机数,用以模拟系统的真实情况(故模拟也称仿 真),从而求解。而此例中均匀分布的随机数是 采用人工方法得到的,即麻烦又不可靠,且局限 性很大。所以我们还要寻求产生任意分布随机数 的一般方法
由此例我们初步了解了系统模拟的方法。其中 的重要步骤是得到一串关于系统中随机规律的随 机数，用以模拟系统的真实情况（故模拟也称仿 真），从而求解。而此例中均匀分布的随机数是 采用人工方法得到的，即麻烦又不可靠，且局限 性很大。所以我们还要寻求产生任意分布随机数 的一般方法
第二节随机数的产生 [0,]间上均匀分布随机数的产生 1定义:设R为Q,止上均匀分布的随机变量, 即R的密度为f(x)= 1x∈[0,1] 0其他 0x≤0 R分布函数为F2(x)={x0<x≤1 则R样本值,即以等概率取自0的 串数称为0,上均匀分布的随机数
第二节 随机数的产生 FR fR 1 x 0 1 1 10 x 1. [0 1] 1 x [0,1] ( ) 0 0 x 0 ( ) 0 x 1 1 x 1 [0 1] [0 1] [0 1] R R R R f x R F x x R = = 定义：设 为 ，上均匀分布的随机变量， 即 的密度为 ， 其他 的分布函数为 则 的样本值，即以等概率取自 ，的 一串数称为 ，上均匀分布的随机数。 一、，区间上均匀分布随机数的产生
2产生方法 (1)物理方法:一是放射性物质随机蜕变;二是电子管回路的 热噪声。(如可将热噪声源装于计算机外部,按其噪声电 压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好,但 产生过程复杂。) (2)查随机数表- Rand Table”(1955年由美国兰德公司编 制,有随机数100万个。)随机数表中的数字具有均匀的 随机性,没有周期性。使用时,可根据需要仼取一段(横 或竖)。如需20个,便可从中取(顺次)20个,需要几位 取几位,随机数表无所谓位数,不能四舍五入
2.产生方法 (1)物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的 热噪声。（如可将热噪声源装于计算机外部，按其噪声电 压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好，但 产生过程复杂。） (2)查随机数表----”Rand Table”（1955年由美国兰德公司编 制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的 随机性，没有周期性。使用时，可根据需要任取一段（横 或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，需要几位 取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入
(3)由递推公式(如同余数公式)在计算机内产生伪随机数。 由于第i1个随机数是由第个按一定公式推算出来的,故 并非真正的随机数。但满足 a)有较好的随机、均匀性。 b)周期长、重复性差。 c)算法过程不退化(即不能反复出现某一常数。) d)算法可再现,速度快。 故这是目前最常用的方法
(3)由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数。 由于第i+1个随机数是由第i个按一定公式推算出来的，故 并非真正的随机数。但满足： a）有较好的随机、均匀性。 b）周期长、重复性差。 c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。） d）算法可再现，速度快。 故这是目前最常用的方法
任意概率分布的随机数的产生 以上介绍了R的随机数r1,「2的产生方法,那么 任意分布Ⅹ的随机数如何产生?我们说,X的随机数X1 X2可以利用r1,「2到。那么与R间必有一定关 系。这种关系又是什么 定理:设R是服从⑩,们区间上均匀分布的随机变量,X的 分布函数为FX(×),则X=FX-1(R) (×=F×-1(R)即FXX)=R。即任意分布的随机变量X被它自 己的分布函数作用后所得的随机变量恰为R。)
二、任意概率分布的随机数的产生 以上介绍了R的随机数r1，r2……的产生方法，那么 任意分布X的随机数如何产生？我们说，X的随机数 x1， x2……可以利用r1，r2……得到。那么X与R间必有一定关 系。这种关系又是什么？ 定理： 设R是服从[0，1]区间上均匀分布的随机变量，X的 分布函数为FX(x)，则X=FX-1(R) 。 （X=FX-1(R) 即FX(X)=R。即任意分布的随机变量X被它自 己的分布函数作用后所得的随机变量恰为R。）