本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题, 实际上,许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一个,如 设计一个工厂的施工方案,就要考虑工期、成本、质量、污 染等目标,再如找工作,购买家用电器追求的目标往往都不止 个。由于这类问题需同时考虑多个目标,而有些目标之间 又相互矛盾,从而使决策问题变得复杂,这类决策问题称为 多目标决策问题 多目标决策方法是现代管理科学的重要内容,也是系 统分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的,多 日标决策可以分为多目标规划决策( Multiple Objective Decision Making)和多准则决策( Multiple Attribute Decision Making)两大类,前者是以数学规划的形式呈现的决策问题, 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量,由此选择最优 方案的决策
本书大部分章节讨论的基本上都是单目标优化问题， 实际上，许多实际问题的优化牵涉的目标往往不止一个，如 设计一个工厂的施工方案，就要考虑工期、成本、质量、污 染等目标,再如找工作,购买家用电器,追求的目标往往都不止 一个。由于这类问题需同时考虑多个目标，而有些目标之间 又相互矛盾，从而使决策问题变得复杂, 这类决策问题称为 多目标决策问题。 多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系 统分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多 目标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策
多目标决策主要指多目标最优化,即多目标规划。对于 某些问题,可以先用多目标规划选出几个备选方案,然后再 用多准则决策方法作进一步处理,因此,这两者既有区别又 有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论 1896年,法国经济学家V· Pareto首先在经济理论的研究中提 出了多目标最优化问题。1951年,美国数理经济学家 TC· Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 问题,并首次提出了多目标最优化问题解的概念,将其命名 为“ Pareto解”(即有效解)。同年, H W Kuhn和 A.W. Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关 概念。进入20世纪70年代,随着第一次国际多目标决策研讨 会的召开及这方面专著的问世,多目标决策问题的研究工作 迅速、蓬勃地开展起来,到目前为止,已取得若干有价值的 研究成果
多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于 某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再 用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又 有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。 1896年，法国经济学家V·Pareto首先在经济理论的研究中提 出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家 T·C·Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名 为“Pareto解”(即有效解)。同年，H·W·Kuhn和 A·W·Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关 概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨 会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作 迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的
第四章多目标规划 第一节多目标规划模型 线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={Xg()≥0,i=1,2,…,m)}X∈En 上,求单目标f(x)的最大或最小的问题,即方案的好坏是以 个目标去衡量。然而,在很多实际问题中,衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断。也就是说,需要用 个以上的目标去判断方案的好坏,而这些目标之间又往 往不是那么协调,甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型
第一节 多目标规划模型 线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi (X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En 上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用 一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往 往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。 第四章 多目标规划
般多目标规划模型 例1:【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖,单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元,糖的总斤数不少于10斤,甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案 我们先确定此问题应满足的条件(即约束条件)。不 难看岀,当甲级糖数量为X1,乙级糖数量为ⅹ时,有: 4x,+2x<40 XI +x2≥10 1≥0,x2≥0
一. 一般多目标规划模型 例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。 我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有： 1 2 1 2 1 1 2 4 2 40 10 5 0, 0 x x x x x x x + +
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时,“筹备小组”的 成员们意见可能会发生分歧,其原因是他们会提出各种各 样的自标来 如果要求总花费最小,即要求: f1(X1,x2)=4X1+2X2mn 如果要求糖的总数量最大,即要求: f2(,x2=x,+x2>max 如果要求甲级糖的数量最大,即要求 f(x1,x2)=x1→>max 易见,这是具有3个目标的规划问题(由于约束及目标均 为线性函数,故它为多目标线性规划问题)
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的 成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各 样的目标来。 如果要求总花费最小，即要求： f1 (x1 ,x2 )=4x1+2x2 →min 如果要求糖的总数量最大，即要求： 如果要求甲级糖的数量最大，即要求： 易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均 为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。 2 1 2 1 2 f x x x x ( , ) max = + → 3 1 2 1 f x x x ( , ) max = →
例2:【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金 A万元,今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第(=1 ,n)个项目要用资金a万元,预计可得到收 益b万元。问应如何使用总资金A万元,才能得到 最佳的经济效益? 设=决定投资第个项目 1=1,2 ●● n 0决定不投资第个项目 问题的约束条件为 ax;≤A X=0或1 1,2 ●●●·● n
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金 A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1， 2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收 益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到 最佳的经济效益？ n i i i=1 i i 1 i i=1 2 n 0 i a x A x (x 1) 0 i=1 2 n i x = − = 决定投资第 个项目 设 ，，……， 决定不投资第 个项目 问题的约束条件为 xi=0或1 ，，……
所谓“最佳的经济效益”,如果理解为“少花 钱多办事”,则变为两个目标的问题,即投资 最少,收益最大 f(x,……,x,)=∑bx→>max ●●●● x)=∑ax→>min 这是具有两个目标的0—1规划问题
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花 钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资 最少，收益最大： 这是具有两个目标的0－1规划问题。 1 1 1 2 1 1 ( ) max ( ) min n n i i i n n i i i f x x b x f x x a x = = = → = → ，……， ，……
例3:【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工 成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格 和应力及强度条件,要求木梁的高度不超过H, 横截面的惯性矩不少于给定值Ⅵ,且横截面的髙 度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸,可使木 梁的重量最轻,并且成本最低。(x 设所设计的木梁横截面的 高为x1,宽为x2(图1)。 为使具有一定长度的木梁重量最轻,应要求 其横截面面积x1x2为最小,即要求X1X2min
例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工 成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格 和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H， 横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高 度要介于其宽度和4倍宽度之间。 问应如何确定木梁尺寸，可使木 梁的重量最轻，并且成本最低。 设所设计的木梁横截面的 高为x1 ，宽为x2（图1）。 为使具有一定长度的木梁重量最轻，应要求 其横截面面积x1x2为最小，即要求x1x2→min x1 x2 图1 r
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树 干加工而成的,故其成本与树干横截面面积的大小 z2=n[(x123+(x12)减成正比。由此,为使木梁的成 本最低还应要求x(x2+x2)/4尽可能的小,或即: (x2+x2)→min 根据问题的要求,应满足下述约東条件 H xx2≥W ≥0 4x 0 0 这是具有两个目标的非线性规划问题
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树 干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小 成正比。由此，为使木梁的成 本最低还应要求 尽可能的小，或即： 根据问题的要求，应满足下述约束条件： 这是具有两个目标的非线性规划问题。 2 2 2 1 2 r x x = + ( / 2) ( / 2) 2 2 1 2 ( ) / 4 x x + 2 2 1 2 ( ) min x x + → 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 4 0 0, 0 x H x x W x x x x x x − −
由以上实例可见,多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中,有的是追求极大化,有的是追求极小化,而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此,我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式: 决策变量:X1, Xn 目标函数:mnf1(x1 X,) ,xn)≥0 约束条件 )≥0
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1 (x1，……，xn ) ……………… minfp (x1，……，xn ) 1 1 1 ( ) 0 ( ) 0 n m n g x x g x x ，……， 约束条件： ……………… ，……