Chapter 4 第二节函数的单调性、极值、 取 值 函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值
第二节 函数的单调性、极值、 最值 Chapter 4 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值
函数的单调性 B y=f(r) y=f(r) B b f(x)≥0 f(x)≤0 定理设函数f(x)在(a,b)内可导,则 (1)若x∈(a,b时恒有f(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调增加; (2)若x∈(a,b)时恒有f(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调减少 Economic-mathematics 25-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、函数的单调性 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A (2) ( , ) ( ) 0 ( ) ( , ) . (1) ( , ) ( ) 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) , 若 时 恒 有 ， 则 在 内单调减少 若 时 恒 有 ， 则 在 内单调增加； 设函数 在 内可导 则 x a b f x f x a b x a b f x f x a b f x a b 定理
例1讨论函数y=ex-x-1单调性 解∵y′=ex-1.又:D:(-∞,+0) 2 在(-∞,0内,y0,∴函数单调增加 注意区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,y1x=0,但在(-∞,+∞)上单调增加 Economic-mathematics 25-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 3 Wednesday, February 24, 2021 例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 又D :(−,+). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加
例2确定函数f(x)=2x32-9x2+12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+0) f(x)=6x2-18x+12 =6(x-1)(x-2) 解方程f(x)=0得,x1=1,x2=2 X 0.511.522.5 当-∞0,∴在(-∞,1上单调增加; 当10,∴在[2,+∞)上单调增加; 单调区间为(-∞,1[,2l[2,+∞) Economic-mathematics 25-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 4 Wednesday, February 24, 2021 例2 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数 f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程 f (x) = 0得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3确定函数∫(x)=3x2的单调区间 解 ∵D:(-∞,+∞) f(x)= 2 (x≠0) y= 当x=0时,导数不存在 (-∞,0] 0,+∞) ∫(x) f(x) 列 Economic-mathematics 25-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 5 Wednesday, February 24, 2021 例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. f (x) (−, 0 ] [ 0, + ) 3 2 y = x f (x) x + _ ↘ ↗
二、函数的极值 定义设函数f(x)在x的某邻域有定义如果 对该邻域内的任何点x(x≠x),恒有 f(x)f(x0), 就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取 得极值的点称为极值点 Economic-mathematics 25-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 6 Wednesday, February 24, 2021 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ), ( ) , 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极大值 或极小值 或 对该邻域内的任何点 恒 有 设函数 在 的某邻域有定义 如 果 f x f x f x f x f x f x x x x f x x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点. o x y o x y 0 x 0 x 二、函数的极值
二、函数的极值 定义设函数f(x)在x的某邻域有定义如果 对该邻域内的任何点x(x≠x,恒有 f(x)f(o)), 就称f(x0是函数f(x)的一个极大值(或极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点 J y=f(r) ax olx x Economic-mathematics 25-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 7 Wednesday, February 24, 2021 o x y a b y = f (x) x1 2 x x3 4 x 5 x 6 x ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ), ( ) , 0 0 0 0 0 就 称 是函数 的一个极大值 或极小值 或 对该邻域内的任何点 恒 有 设函数 在 的某邻域有定义 如 果 f x f x f x f x f x f x x x x f x x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点. 二、函数的极值
定理1(必要条件)设f(x)在点x处可导,且x是 f(x)的极值点,则必有f(x)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x3,y1x=0=0,但x=0不是极值点 Economic-mathematics 25-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 8 Wednesday, February 24, 2021 设 f (x) 在 点 x0 处可导,且x0 是 f (x)的极值点,则必有 f (x0 ) = 0. 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点
定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)>0;而x∈(x,x+8), 有∫(x)0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-,x)及x∈(x,x+0)时,∫(x) 符号相同,则f(x)在x处无极值 0 (是极值点情形) (不是极值点情形) Economic-mathematics 25-9 Wednesday, February 24, 202
Economic-mathematics 25 - 9 Wednesday, February 24, 2021 (1)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) x y o 0 x + − − + (不是极值点情形)
例4求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解∫(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x|(-∞,-1)|-1(-1,3) f(x)+ 0 30 (3,+∞) f(x)个 极大值 极小值 极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22 Economic-mathematics 25-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 25 - 10 Wednesday, February 24, 2021 例4 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x 3 − x 2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (−,−1) − 1 (−1,3) 3 (3,+) f (x) f (x) + − + 0 0 极 大 值 极 小 值 极大值 f (−1) = 10, 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3)