换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的 方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应 的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后, 把换元法分成第一类换元和第二类换元
换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元
、第一类换元法 问题Jcos2 xdx sin2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→d=l 2 cos 2xdx==cos tds 7 sint+C=sin 2x+c 2 2 sin2x+C=c0s2x说明结果正确 2
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法 sin 2x C] cos 2x 2 1 [ + = 说明结果正确
将上例的解法一般化: 设F'()=f(a,则「f(u)d=F(u)+C. 如果u=g(x)(可微) dF|q(x)=∫|y(x)(x)x ∫f(x)p(x)d=Flo(x)+C 将上述作法总结成定理,使之合法化,可得 换元法积分公式
将上例的解法一般化： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 ——换元法积分公式
定理1设f(u)具有原函数,l=p(x)可导, 则有换元公式 ∫(x)p(x)d=叮Jf(a)bhls 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 ∫g(x)化为qx)(x)d 观察重点不同,所得结论不同
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
注①定理说明:若已知∫f()dm=F()+C 则||p(x)(x)x=F|(x)+C 因此该定理的意义就在于把 ∫/(a)dm=F(m)+C中的a换成另一个 x的可微函数φ(x)后,式子仍成立 又称为积分的形式不变性 这样一来,可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 ②由定理可见,虽然∫1x)p(x) 是一整体记号,但可把视为自变量微分 →p(x)x=lyp(x) 凑微分
注 ① 定理说明：若已知 f (u)du = F(u) + C 则 f x x dx = F x + C [( )] ( ) [( )] 因此该定理的意义就在于把 f (u)du = F(u) + C 中的 u 换成另一个 x 的可微函数 (x) 后，式子仍成立 ——又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 dx ②由定理可见，虽然 f[(x)](x)dx 是一整体记号，但可把 视为自变量微分 (x)dx = d(x) ——凑微分
③凑微分法就在凑微分上,其基本思想就是对被积 表达式进行变形,主要考虑如何变化f(x)dx 凑微分法的基本思路: 与基本积分公式相比较,将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同 步骤:凑微分;换元求出积分;回代原变量 例1求sin2xk 解(一)Jsn2x=,Jsm2xl(2x) cos 2x +C:
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f (x)dx 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C
解(二)「sin2x=2 Tsin xcos xdx 2 sin xd(sin x)=(sin x )+C; 解(三)「sin2x=2| sin x cos xo -2 cos xd(cos x)=-(cos x)+C 例2求d 3+2x 解 3+2x 4(xz+!).z+E 3+2x2J3+2x (3+2x)dx
解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C 例2 求 . 3 2 1 dx x + 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + =
d=lnu+C、 ln(3+2x)+C 2 般地∫f(ax+b)tx=(a)hl u=ax+b 例3求 x(1+2Inx) 解 dh x(1+2nx) d(nx) 1+2Inx d(1+2Inx 2J1+2Inx u=1+2lnx 2 -du =Inu+C=In(1+2In x)+C. 2
du u = 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C f (ax + b)dx = u du u=ax+b f a [ ( ) ] 1 一般地 例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x + 解 dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = lnu + C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x + C
例4求 (1+x)' x+1-1 解 (1+x) a=∫ 1+x) (1+x)2(1+x)3 jd (l+x) 1+x +C1+2(1+1y2×C 1+x"2(1+x)2
例4 求 . (1 ) 3 dx x x + 解 dx x x + 3 (1 ) dx x x + + − = 3 (1 ) 1 1 ] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = 1 2 2 2(1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −
例5 dx(a>0) a -x 解 dx d x 、,d( a -x =arcsin -+C 例6求22tx. a+x 解 d x a+x 1+ arctan -+C 1
例5 − ( 0) 1 2 2 dx a a x 解 − = − dx a x a dx a x 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 2 a x d a x − = C a x = arcsin + 例6 求 . 1 2 2 dx a x + 解 dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = +
