Chapter 1 第一节函数的概念 变量 二、函数概念 三、函数的简单性质 四、初等函数
第一节 函数的概念 Chapter 1 一、变量 三、函数的简单性质 二、函数概念 四、初等函数
变量 (一)变量与常量 在观察过程中始终保持固定数值的一种量称为常量。 般用字母a,b,c等表示。如物体的重力加速度,某 段时间内某种商品的不变价格等都是常量。 在观察过程中可以取不同数值的一种量称为变量。 一般用字母x,yz等表示。如一天中的气温、湿度,生 产过程中的产量等都是变量。 Economic-mathematics 40-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、变量 （一）变量与常量 在观察过程中始终保持固定数值的一种量称为常量。 一般用字母a, b, c 等表示。如物体的重力加速度，某 段时间内某种商品的不变价格等都是常量。 在观察过程中可以取不同数值的一种量称为变量。 一般用字母x, y, z 等表示。如一天中的气温、湿度，生 产过程中的产量等都是变量
变量 (一)变量与常量 (二)区间 通常用“区间”来表示变量x的变化范围。 闭区间[a,b表示满足不等式a≤x≤b的实数x的全体。 开区间(a,b)表示满足不等式a<x<b的实数x的全体。 半开闭区间(a,b表示满足不等式a<x≤b的实数x的全体。 半开闭区间[a,b)表示满足不等式a≤x<b的实数x的全体。 还有无穷区阊: (-∞,b),(-∞,b,[b,+∞),(b,+∞)以及 o。+ Economic-mathematics 40-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 3 Wednesday, February 24, 2021 一、变量 （一）变量与常量 通常用 “区间” 来表示变量x 的变化范围。 闭区间 [ a ,b ]表示满足不等式 的实数 x 的全体。 开区间 (a ,b )表示满足不等式 的实数 x 的全体。 半开闭区间( a ,b ]表示满足不等式 的实数 x 的全体。 半开闭区间[ a ,b )表示满足不等式 的实数 x 的全体。 （二）区间 a x b a x b a x b a x b ( , ) ( ) ,( ],[ ) ,( , ) + + + － － ， － ， ， 以 及 还有无穷区间： b b b b
变量 (一)变量与常量 (二)区间 (三)邻域 满足x-x0<8的x的集合称为x的δ邻域; 满足0<x-x0<的x的集合称为x的δ空心邻域; 0 0 +δ Economic-mathematics 40-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 4 Wednesday, February 24, 2021 一、变量 （一）变量与常量 （二）区间 （三）邻域 满足 x − x0 的x的集合称为x0的 邻域； 满足0 x − x0 的x的集合称为x0的 空心邻域； x 0 − x x0 + x0
二、函数概念 )引例 例1有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里,它的垂足 B到火车站C的铁路长为b公里,工厂的产品必须经火车 站C才能转销外地。已知汽车运费是m元/吨公里,火车运 费是n元/吨公里(m>n),为使运费最省,想在铁路上 另修一小站M作为转运站,那么运费的多少决定于M的地 点。试将运费表为距离BM的函数,见图。b 解设BM=x,运费为y。Bx 由题意,AM=√a2+x2 Mc=b-x 则y=mVa2+x2+n(b-x) Econot 定义域泡nQb] 40-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 5 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （一）引例 例 1 有一工厂A 与铁路的垂直距离为a 公里，它的垂足 B到火车站 C 的铁路长为b 公里，工厂的产品必须经火车 站C 才能转销外地。已知汽车运费是m 元/吨公里，火车运 费 是 n元/吨公里（m n），为使运费最省，想在铁路上 另修一小站M 作为转运站，那么运费的多少决定于M 的 地 点 。试将运费表为距离 BM 的函数，见图。 a b x A 解 B M C 设 BM = x，运费为 y 。 由题意， 2 2 AM = a + x , 则 ( ) 2 2 y = m a + x + n b − x 定义域为 [ 0，b]。 MC = b − x
二、函数概念 (一)引例 例2某运输公司规定货物的吨公里运价为:奋公 里以内,每公里k元;超过公里,超过部分每公里 为k元。求运价m和里程S之间的函数关系。 5 解由于运价以公里为界,分两种情况定价, 因此所求函数关系应该是分段函数: s 0a 定义域为(0,+∞) Economic- mathematics 40-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 6 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （一）引例 例 2 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a 公 里以内，每公里k 元；超过a 公里，超过部分每公里 为 k 5 4 元。求运价m 和里程s 之间的函数关系。 解 由于运价以a 公里为界，分两种情况定价， 因此所求函数关系应该是分段函数： + − = k a k s a s a k s s a m ( ), 5 4 , 0 定义域为 (0,+ )
二、函数概念 二)函数的定义 设x和y是两个变量,D是一个非空的数集,如果对于 每个数x∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值和它 对应,则称y是x的函数,记作y=f(x) 其中x称为自变量,y称为因变量。集合D称为 函数的定义域,记作D(∫)。 对于x0∈D所对应的y,称为x=x0时函数 y=∫(x)的函数值,记作y或f(x0)。 全体函数值的集合{yy=f(x),x∈D},称为函数 y=f(x)的值域,记作Z(f)。 Economic-mathematics 40-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 7 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （二）函数的定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个非空的数集，如果对于 每个数x D,变 量y 按照一定法则总有确定的数值和它 对应，则称 y 是x 的函 数，记作 y = f (x) 其 中 x 称 为自变量，y 称 为因变量。集合 D 称 为 函数的定义域，记作D( f )。 对 于 x0 D 所对应的 y ，称为 0 x = x 时 函 数 y = f ( x)的函数值，记作 ( ) 0 0 y 或 f x 。 全体函数值的集合y y = f ( x), x D，称为函数 y = f ( x)的值 域，记作 Z( f )
二、函数概念 二)函数的定义 (函数的两个要素:函数的对应法则和定义域) (1)对应法贝 例3f(x)=3x2+5x-12就是一个特定的函数,f 确定的对应法则为: f()=3()2+5()-12 例4设f(x)=xtan,求f() 解f()=-tan() Economic-mathematics 40-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 8 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （二）函数的定义 例 3 ( ) 3 5 12 2 f x = x + x − 就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为： 例 4 设 x f x x 1 ( ) = tan ，求 ). π 4 f ( ( ) 3( ) 5( ) 12 2 f = + − (函数的两个要素:函数的对应法则和定义域 ) （1）对应法则 . 4 ) 4 tan( 4 ) 4 ( 解 f = =
二、函数概念 二)函数的定义 (函数的两个要素:函数的对应法则和定义域) (1)对应法贝 (2)定义域 例5求函数y=x2-x-6+ arcsin 2x-1 定义域 7 解由x2-x-6≥0得(x-3)(x+2)≥0 解得x≥3或x≤-2. 由 2、-1s7,解得-3≤x≤4. 于是,所求函数的定义域是[-3,-2]U|3,4 Economic-mathematics 40-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 9 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （二）函数的定义 (函数的两个要素:函数的对应法则和定义域 ) （1）对应法则 例 5 求函数 = − −6+ 2 y x x 7 2 1 arcsin x − 定义域． 由 6 0 2 x − x − 得 解得 x 3或x −2. 由 1 7 2 1 x − ，得 2x − 1 7, （2）定义域 解 (x − 3)( x + 2) 0 解得 − 3 x 4. 于是，所求函数的定义域是 [−3,−2][3,4]
二、函数概念 二)函数的定义 两个函数相同,当且仅当两个要素相同 例6问y=x和y=是不是相同的函数关系? 解两个函数关系定义域不相同,因此不是相同的 函数关系。 y y=x X O x Economic-mathematics 40-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 40 - 10 Wednesday, February 24, 2021 二、函数概念 （二）函数的定义 两个函数相同，当且仅当两个要素相同。 问 y = x 和 x x y 2 = 是不是相同的函数关系？ 解 两个函数关系定义域不相同，因此不是相同的 函数关系。 y = x O x y x x y 2 = O x y 例 6
